KOMBINATORIK (Kaidah Pencacahan, Permutasi, Kombinasi)
KAIDAH PENCACAHAN (Penjumlahan & Perkalian)
Kaidah Penjumlahan
Soal :
1.
Pada perlombaan Cerdas Cermat Matematika
Terdapat 30 siswa laki-laki dan 25 siswa perempuan. Jika akan dilakukan
penilaian dan pemberian peringkat juara maka ada berapa kemungkinan peringkat
yang dibuat?
2. Dari suatu SMA terdapat siswa dengan jumlah siswa per kelas yakni 38 kelas XA, 37 kelas XB, 35 kelas XC. Bila semua siswa akan masuk ke jurusan yang sama, maka berapa kemungkinan siswa yang sejurusan?
Pembahasan :
1.
Banyaknya juara yang dapat dibuat adalah
30 + 25 = 55 peringkat juara.
2.
Banyaknya siswa yang akan masuk satu
jurusan adalah 38 + 37 + 35 = 110 siswa yang akan masuk satu jurusan dalam SMA.
Kaidah Perkalian
Soal :
1. Dari
Bandung ke Bandara Cengkareng ada 6 pilihan perusahaan angkutan darat,
sedangkan dari Bandara ke Palangka Raya ada 4 pilihan perusahaan penerbangan.
Berapa banyak pilihan angkutan yang digunakan dari Bandung ke Palangka Raya.
2. Dalam
pemilihan Pengurus OSIS yang terdiri dari seorang Ketua, seorang Sekretaris,
dan seorang Bendahara, terdapat 5 orang calon Ketua, 7 orang calon Sekretaris,
dan 4 orang calon Bendahara. Berapa banyak Pengurus OSIS yang mungkin?
3. Seorang
siswa berniat joging pada hari Minggu pagi. Ia memiliki 7 kaos T-shirt, 6
potong celana oleh raga, dan 3 pasang sepatu olah raga. Berapa banyak pilihan
pakaian yang dapat digunakan pada saat joging?
Pembahasan :
1.
Banyaknya pilihan
angkutan yang digunakan dari Bandung ke Palangka Raya adalah 6 x 4 = 24. Jadi
banyaknya pilihan angkutan yang digunakan dari bandung ke Palangka Raya adalah
24 pilihan angkutan.
2.
Banyaknya
pengurus OSIS yang mungkin dengan melihat data tersebut adalah 5 x 7 x 4 = 140.
Jadi Banyaknya pengurus OSIS yang mungkin ada 140.
3.
Banyaknya pilihan
pakaian yang dapat digunakan saat joging adalah 7 x 6 x 3 = 126. Jadi banyaknya
pilihan pakaian yang dapat digunakan saat joging adalah sebanyak 126 pilihan
pakaian.
Soal :
1. Seorang
pelukis membawa 8 lukisan yang akan dipajang pada dinding pameran. Ternyata ia
hanya diperbolehkan memajang 4 lukisan dalam satu baris. Ada berapa banyak
susunan lukisan yang mungkin dipajang pelukis tersebut?
2. Seorang
siswa akan menumpuk 6 buah buku yang dikeluarkan dari tas. Berapa banyak
tumpukan buku yang mungkin?
3. Ada
berapa cara 5 orang siswa memasuki angkot ?
4. Dari
10 orang pengurus OSIS akan membetuk Panitia suatu acara yang terdiri dari
seorang Ketua, seorang Sekretaris, dan seorang Bendahara. Berapa banyak susunan
panitia dari pengurus OSIS tersebut?
5. Pada
sebuah rapat yang dihadiri 7 orang, duduk mengelilingi sebuah meja bundar.
Berapa banyak susunan yang mungkin mereka duduk mengikuti rapat?
6. Barapa
banyak kata yang dapat dibentuk dari kata CACAH?
Pembahasan :
1.
8P4 = 8!/(8-4)! = 8!/4! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4!/4! = 1680.
Jadi ada sebanyak 1680 susunan lukisan
yang mungkin dipajang pelukis tersebut.
2.
6P6 = 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720. Jadi banyaknya tumpukan
buku yang mungkin sebanyak 720 kemungkinan.
3.
5P5 = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120. Jadi banyaknya cara
memasuki angkot yakni 120 kemungkinan.
4.
10P4 = 10!/(10-4)! = 10!/6! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6!/6! =
5040. Jadi banyaknya susunan panitia dari OSIS tersebut adalah 5040 susunan
panitia.
5.
6P6 = 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720. Jadi banyaknya
susunan duduk mengelilingi meja bundar dalam rapat adalah 720 susunan duduk.
6.
Banyaknya jenis
huruf yang sama = 2
Jumlah huruf dalam kata CACAH = 5
Maka Banyaknya susunan kata yang dapat dibentuk adalah
5P2
= 5!/3! = 5 x 4 x 3!/3! = 20. Jadi banyaknya kata yang mungkin dapat disusun
adalah 20 kata.
Kombinasi
Soal :
1. Dari
10 pemain bola volley dipilih 6 orang untuk mengawali pertandingan. Berapa
banyak pilihan pemain volley yang mungkin dipilih?
2. Rapat
Komite suatu sekolah dihadiri 15 orang, akan menetapkan 4 orang pengurus inti.
Berapa banyak pilihan yang mungkin untuk menetapkan pengurus inti tersebut?
3. Susunan
panitia terdiri dari 3 orang yang dibentuk dari 5 pria dan 4 wanita. Panitia
harus terdiri dari 2 pria dan 1 wanita, berapakah kemungkinan panitia yang
dapat dibuat?
Pembahasan :
1. 10C6
= 10!/(10-6)!.6! = 10!/4!.6!
= 10 x 9
x 8 x 7 x 6!/(4 x 3 x 2 x 1).6!
= 5040/24 = 210
Jadi Banyaknya pilihan pemain volley untuk mengawali
pertandingan adalah 210 kemungkinan.
2.
15C4
= 15!/(15-4)!.4! = 15!/11!.4!
= 15 x 14 x 13 x 12 x 11!/11!.(4 x 3 x 2 x 1)
= 32760/24
= 1365
Jadi banyaknya pilihan yang mungkin untuk menetapkan
pengurus inti adalah 1365 pilihan panitia inti.
3.
5C2.4C1 = (5!/3!.2!) x (4!/3!) = 10 x 4 = 40
Jadi kemungkinan
panitia yang dapat dibuat adalah 40 panitia.
Peluang
Soal :
1. Dua
buah dadu dilempar sekaligus. Tentukan peluang jumlah mata dadu 5 ?
2. Selembar
kartu diambil setumpuk kartu bridge lengkap. Berapa peluang terambilnya kartu
As ?
3. Sebuah
kotak berisi 6 bola hitam dan 4 bola putih. Jika diambil 4 buah bola sekaligus,
tentukan peluang 3 bola hitam dan 1 bola putih.
4. Sebuah
uang logam dan sebuah dadu ditos bersamaan. Tentukan peluang munculnya Gambar
atau mata dadu lebih dari 4.
Pembahasan :
1.
A = {jumlah mata dadu 5}
= {(1,4),(2,3),(4,1),(3,2)}
S ={seluruh kemungkinan mata dadu
yang muncul}
= 36
P(A) = n(A)/n(S) = 4/36 = 1/9
Jadi peluang mata dadu dengan
jumlah 5 adalah 1/9
2.
n(S) = banyaknya kartu bridge = 52
n(A) = banyaknya kartu As = 4
P(A) = n(A)/n(S) = 4/52 = 1/13
Jadi peluang kartu As terambil dari
setumpuk kartu Bridge adalah 1/13
3.
Banyaknya bola dalam kotak = 10
Banyaknya bola yang akan diambil
dari dalam kotak = 4
H1 = banyaknya
bola hitam didalam kotak = 6
H2 = banyaknya bola hitam yang akan
diambil dari kotak = 3
P1 = banyaknya bola putih didalam
kotak = 4
P2 = banyaknya bola putih yang akan
diambil dari kotak = 1
Peluang terambilnya 3 bola hitam
dan 1 bola putih adalah
(6C3 x 4C1)/10C4 = (20 x 4)/210 = 80/210 = 0,38095
Jadi peluang terambinya 3 bola
hitam dan 1 bola putih dari dalam kotak yakni 0.38095.
4.
P(K) = peluang koin muncul gambar = ½
n(S) = {jumlah ruang sampel 1 dadu}
= 6
n(D) = {mata dadu lebih dari 4} =
{5,6} = 2
P(D) = n(D)/n(S) = 2/6 = 1/3
Peluang muncul gambar atau mata
dadu lebih dari 4 adalah
½ + 1/3 = (3+2)/6 = 5/6 = 0,8333
Jadi peluang muncul gambar atau mata
dadu lebih dari 4 (dari pengetosan uang logam dan dadu) adalah 0,8333
Peluang Bersyarat
Soal :
1.
Misalkan kita memiliki 12 kartu yang diberi
nomor 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, dan 12. Misalkan G adalah peristiwa
terambilnya sebuah kartu bernomor genap, T adalah peristiwa terambilnya kartu
dengan nomor kelipatan 3. Tentukan peluang dari (i) P(G), (ii) P(T), (iii)
P(T|G), dan (iv) P(G|T).
2.
Tabel 2.2. berikut menunjukkan jumlah siswa pria
dan wanita kelas X suatu SMA yang mengikuti ekstra kurikuler olahraga dan bukan
olah raga. Akan dipilih seorang siswa secara acak. Apakah peristiwa terpilihnya
siswa pria dan siswa mengikuti ekstra kurikuler olahraga merupakan suatu
kejadian saling bebas?
|
Tabel 2.2 Ekstra
Kurikuler |
Pria |
Wanita |
|
Olahraga |
27 |
48 |
|
Bukan olahraga |
83 |
92 |
3.
Tabel 2.3. berikut menunjukkan jumlah siswa pria
dan wanita kelas X suatu SMA yang senang dan tidak senang terhadap mata
pelajaran matematika. Seorang siswa dipilih secara acak.
a. Tentukan peluang terambilnya
seorang siswa yang senang matematika
b. Tentukan peluang terpilihnya
seorang siswa pria yang senang matematika.
c. Tunjukkan bahwa senang terhadap
matematika tidak saling bebas dengan jender siswa.
|
Tabel 2.3 Jumlah siswa kelas X SMA |
Pria |
Wanita |
|
Senang Matematika |
72 |
58 |
|
Tidak senang matematika |
48 |
22 |
Pembahasan :
- G
adalah peristiwa terambilnya sebuah kartu bernomor genap = {2,4,6,8,10,12}
T adalah peristiwa terambilnya
kartu dengan nomor kelipatan 3 = {3,6,9,12}
S adalah seluruh peristiwa yang
terjadi ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}
n(G) = 6
n(T) = 4
n(S) = 12
P(T ∩ G) = P(G ∩T) = 1/12
i.
P(G) = n(G)/n(S) = 6/12 = ½
ii. P(T)
= n(T)/n(S) = 4/12 = 1/3
iii. P(T|G)
= P(T ∩G)/P(G)
= (1/12)/(1/2) = 1/6
iv. P(G|T)
= P(G ∩T)/P(T)
= (1/12)/(1/3) = 1/4
- n(L1)
= banyaknya siswa pria = 110
n(M) = banyaknya siswa
yang mengikuti ekstra kurikuler olahraga = 75
n(S) = jumlah seluruh
siswa yang mengikuti ekstra kurikuler olah raga dan tidak mengikuti ekstra
kurikuler olahraga = 250
P(L1)
= 110/250
P(M) = 75/250
P(L1∩M) = P(M ∩L1)
= 27/75
Jika peristiwa terpilihnya siswa pria
dan siswa mengikuti ekstra kurikuler olahraga merupakan suatu kejadian saling
bebas maka berlaku :
P(L1∩M) = P(M ∩ L1)
= P(L1).P(M)
27/75 =(110/250).(75/250)
0,36 = 8250/62500
0,36 = 0,132
Karena ruas kanan tidak
sama dengan ruas kiri maka dapat disimpulkan bahwa peristiwa terpilihnya pria
dan siswa mengikuti ekstra kurikuler olahraga bukan
merupakan suatu kejadian saling bebas.
- n(S) = banyaknya siswa = 200
n(L1) = banyaknya siswa pria yang suka matematika =
72
n(L2) = banyaknya siswa pria yang tidak suka
matematika = 48
n(P1) = banyaknya siswa wanita yang suka matematika
= 58
n(P2) = banyaknya siswa wanita yang tidak suka
matematika = 22
a. Tentukan peluang terambilnya seorang siswa
yang senang matematika
Misal M adalah banyaknya siswa yang
suka matematika
P(M) = (n(L1) + n (P1))/n(S) = (72
+ 58)/200 = 130/200 = 0,65
b. Tentukan peluang terpilihnya seorang siswa
pria yang senang matematika.
N adalah banyaknya siswa pria = 120
P(L1) = n(L1)/n(N) = 72/120 = 0,6
a. Tunjukkan
bahwa senang terhadap matematika tidak saling bebas dengan
jender siswa.
Misal jender siswa adalah G = 250
jika kejadian
tersebut tidak saling bebas maka berlaku :
P(M ∩
G) ≠ P(M).P(G)
2/130 ≠
0,65 x 1
0,015384 ≠ 0,65
Karena
ruas kanan ≠ ruas
kiri maka terbukti bahwa kejadian senang matematika tidak saling bebas dengan
jender siswa.
0 Komentar