STATISTIKA ELEMENTER

 

KOMBINATORIK (Kaidah Pencacahan, Permutasi, Kombinasi)

 

KAIDAH PENCACAHAN (Penjumlahan & Perkalian)

Kaidah Penjumlahan

Soal :

1.      Pada perlombaan Cerdas Cermat Matematika Terdapat 30 siswa laki-laki dan 25 siswa perempuan. Jika akan dilakukan penilaian dan pemberian peringkat juara maka ada berapa kemungkinan peringkat yang dibuat?

2.      Dari suatu SMA terdapat siswa dengan jumlah siswa per kelas yakni 38 kelas XA, 37 kelas XB, 35 kelas XC. Bila semua siswa akan masuk ke jurusan yang sama, maka berapa kemungkinan siswa yang sejurusan?

Pembahasan :      

1.      Banyaknya juara yang dapat dibuat adalah 30 + 25 = 55 peringkat juara.

2.      Banyaknya siswa yang akan masuk satu jurusan adalah 38 + 37 + 35 = 110 siswa yang akan masuk satu jurusan dalam SMA.

 

Kaidah Perkalian

Soal :

1.      Dari Bandung ke Bandara Cengkareng ada 6 pilihan perusahaan angkutan darat, sedangkan dari Bandara ke Palangka Raya ada 4 pilihan perusahaan penerbangan. Berapa banyak pilihan angkutan yang digunakan dari Bandung ke Palangka Raya.

2.      Dalam pemilihan Pengurus OSIS yang terdiri dari seorang Ketua, seorang Sekretaris, dan seorang Bendahara, terdapat 5 orang calon Ketua, 7 orang calon Sekretaris, dan 4 orang calon Bendahara. Berapa banyak Pengurus OSIS yang mungkin?

3.      Seorang siswa berniat joging pada hari Minggu pagi. Ia memiliki 7 kaos T-shirt, 6 potong celana oleh raga, dan 3 pasang sepatu olah raga. Berapa banyak pilihan pakaian yang dapat digunakan pada saat joging?

 

Pembahasan :

1.      Banyaknya pilihan angkutan yang digunakan dari Bandung ke Palangka Raya adalah 6 x 4 = 24. Jadi banyaknya pilihan angkutan yang digunakan dari bandung ke Palangka Raya adalah 24 pilihan angkutan.

2.      Banyaknya pengurus OSIS yang mungkin dengan melihat data tersebut adalah 5 x 7 x 4 = 140. Jadi Banyaknya pengurus OSIS yang mungkin ada 140.

3.      Banyaknya pilihan pakaian yang dapat digunakan saat joging adalah 7 x 6 x 3 = 126. Jadi banyaknya pilihan pakaian yang dapat digunakan saat joging adalah sebanyak 126 pilihan pakaian.

 

 Permutasi

Soal :

1.      Seorang pelukis membawa 8 lukisan yang akan dipajang pada dinding pameran. Ternyata ia hanya diperbolehkan memajang 4 lukisan dalam satu baris. Ada berapa banyak susunan lukisan yang mungkin dipajang pelukis tersebut?

2.      Seorang siswa akan menumpuk 6 buah buku yang dikeluarkan dari tas. Berapa banyak tumpukan buku yang mungkin?

3.      Ada berapa cara 5 orang siswa memasuki angkot ?

4.      Dari 10 orang pengurus OSIS akan membetuk Panitia suatu acara yang terdiri dari seorang Ketua, seorang Sekretaris, dan seorang Bendahara. Berapa banyak susunan panitia dari pengurus OSIS tersebut?

5.      Pada sebuah rapat yang dihadiri 7 orang, duduk mengelilingi sebuah meja bundar. Berapa banyak susunan yang mungkin mereka duduk mengikuti rapat?

6.      Barapa banyak kata yang dapat dibentuk dari kata CACAH?

 

Pembahasan :

1.      8P4 = 8!/(8-4)! = 8!/4! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4!/4! = 1680. Jadi  ada sebanyak 1680 susunan lukisan yang mungkin dipajang pelukis tersebut.

2.      6P6 = 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720. Jadi banyaknya tumpukan buku yang mungkin sebanyak 720 kemungkinan.

3.      5P5 = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120. Jadi banyaknya cara memasuki angkot yakni 120 kemungkinan.

4.      10P4 = 10!/(10-4)! = 10!/6! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6!/6! = 5040. Jadi banyaknya susunan panitia dari OSIS tersebut adalah 5040 susunan panitia.

5.      6P6 = 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720. Jadi banyaknya susunan duduk mengelilingi meja bundar dalam rapat adalah 720 susunan duduk.

6.      Banyaknya jenis huruf yang sama = 2

Jumlah huruf dalam kata CACAH = 5

Maka Banyaknya susunan kata yang dapat dibentuk adalah

5P2 = 5!/3! = 5 x 4 x 3!/3! = 20. Jadi banyaknya kata yang mungkin dapat disusun adalah 20 kata.

 

Kombinasi

Soal :

1.      Dari 10 pemain bola volley dipilih 6 orang untuk mengawali pertandingan. Berapa banyak pilihan pemain volley yang mungkin dipilih?

2.      Rapat Komite suatu sekolah dihadiri 15 orang, akan menetapkan 4 orang pengurus inti. Berapa banyak pilihan yang mungkin untuk menetapkan pengurus inti tersebut?

3.      Susunan panitia terdiri dari 3 orang yang dibentuk dari 5 pria dan 4 wanita. Panitia harus terdiri dari 2 pria dan 1 wanita, berapakah kemungkinan panitia yang dapat dibuat?

 

Pembahasan :

1.      10C6 = 10!/(10-6)!.6! = 10!/4!.6!

 = 10 x 9 x 8 x 7 x 6!/(4 x 3 x 2 x 1).6!

 = 5040/24 = 210

Jadi Banyaknya pilihan pemain volley untuk mengawali pertandingan adalah 210 kemungkinan.

2.      15C4 = 15!/(15-4)!.4!   = 15!/11!.4!

= 15 x 14 x 13 x 12 x 11!/11!.(4 x 3 x 2 x 1)

= 32760/24

= 1365

Jadi banyaknya pilihan yang mungkin untuk menetapkan pengurus inti adalah 1365 pilihan panitia inti.

3.      5C2.4C1 = (5!/3!.2!) x (4!/3!) = 10 x 4 = 40

Jadi kemungkinan panitia yang dapat dibuat adalah 40 panitia.

 

Peluang

Soal :

1.      Dua buah dadu dilempar sekaligus. Tentukan peluang jumlah mata dadu 5 ?

2.      Selembar kartu diambil setumpuk kartu bridge lengkap. Berapa peluang terambilnya kartu As ?

3.      Sebuah kotak berisi 6 bola hitam dan 4 bola putih. Jika diambil 4 buah bola sekaligus, tentukan peluang 3 bola hitam dan 1 bola putih.

4.      Sebuah uang logam dan sebuah dadu ditos bersamaan. Tentukan peluang munculnya Gambar atau mata dadu lebih dari 4.

 

Pembahasan :

 

1.      A = {jumlah mata dadu 5}

   = {(1,4),(2,3),(4,1),(3,2)}

S ={seluruh kemungkinan mata dadu yang muncul}

   = 36

P(A) = n(A)/n(S) = 4/36 = 1/9

Jadi peluang mata dadu dengan jumlah 5 adalah 1/9

2.      n(S) = banyaknya kartu bridge = 52

n(A) = banyaknya kartu As = 4

P(A) = n(A)/n(S) = 4/52 = 1/13

Jadi peluang kartu As terambil dari setumpuk kartu Bridge adalah 1/13

3.      Banyaknya bola dalam kotak = 10

Banyaknya bola yang akan diambil dari dalam kotak = 4

H1 = banyaknya bola hitam didalam kotak = 6

H2 = banyaknya bola hitam yang akan diambil dari kotak = 3

P1 = banyaknya bola putih didalam kotak = 4

P2 = banyaknya bola putih yang akan diambil dari kotak = 1

Peluang terambilnya 3 bola hitam dan 1 bola putih adalah

(6C3 x 4C1)/10C4 = (20 x 4)/210 = 80/210 = 0,38095

Jadi peluang terambinya 3 bola hitam dan 1 bola putih dari dalam kotak yakni 0.38095.

4.      P(K) = peluang koin muncul gambar = ½

n(S) = {jumlah ruang sampel 1 dadu} = 6

n(D) = {mata dadu lebih dari 4} = {5,6} = 2

P(D) = n(D)/n(S) = 2/6 = 1/3

Peluang muncul gambar atau mata dadu lebih dari 4 adalah

½ + 1/3 = (3+2)/6 = 5/6 = 0,8333

Jadi peluang muncul gambar atau mata dadu lebih dari 4 (dari pengetosan uang logam dan dadu) adalah 0,8333

 

Peluang Bersyarat

Soal :

1.      Misalkan kita memiliki 12 kartu yang diberi nomor 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, dan 12. Misalkan G adalah peristiwa terambilnya sebuah kartu bernomor genap, T adalah peristiwa terambilnya kartu dengan nomor kelipatan 3. Tentukan peluang dari (i) P(G), (ii) P(T), (iii) P(T|G), dan (iv) P(G|T).

2.      Tabel 2.2. berikut menunjukkan jumlah siswa pria dan wanita kelas X suatu SMA yang mengikuti ekstra kurikuler olahraga dan bukan olah raga. Akan dipilih seorang siswa secara acak. Apakah peristiwa terpilihnya siswa pria dan siswa mengikuti ekstra kurikuler olahraga merupakan suatu kejadian saling bebas?

 

Tabel 2.2 Ekstra Kurikuler	Pria	Wanita
Olahraga	27	48
Bukan olahraga	83	92

 

3.      Tabel 2.3. berikut menunjukkan jumlah siswa pria dan wanita kelas X suatu SMA yang senang dan tidak senang terhadap mata pelajaran matematika. Seorang siswa dipilih secara acak.

a. Tentukan peluang terambilnya seorang siswa yang senang matematika

b. Tentukan peluang terpilihnya seorang siswa pria yang senang matematika.

c. Tunjukkan bahwa senang terhadap matematika tidak saling bebas dengan jender siswa.

 

Tabel 2.3 Jumlah siswa kelas X SMA	Pria	Wanita
Senang Matematika	72	58
Tidak senang matematika	48	22

 

 

 

 

 

Pembahasan :

1. G adalah peristiwa terambilnya sebuah kartu bernomor genap = {2,4,6,8,10,12}

T adalah peristiwa terambilnya kartu dengan nomor kelipatan 3 = {3,6,9,12}

S adalah seluruh peristiwa yang terjadi ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}

n(G) = 6

n(T) = 4

n(S) = 12

P(T ∩ G) = P(G ∩T) =  1/12

i.         P(G) = n(G)/n(S) = 6/12 = ½

ii.       P(T) = n(T)/n(S) = 4/12 = 1/3

iii.      P(T|G) = P(T ∩G)/P(G) = (1/12)/(1/2) = 1/6

iv.     P(G|T) = P(G ∩T)/P(T) = (1/12)/(1/3) = 1/4

2. n(L1) = banyaknya siswa pria = 110

n(M) = banyaknya siswa yang mengikuti ekstra kurikuler olahraga = 75

n(S) = jumlah seluruh siswa yang mengikuti ekstra kurikuler olah raga dan tidak mengikuti ekstra kurikuler olahraga = 250

P(L1) = 110/250

P(M) = 75/250

P(L1∩M) = P(M ∩L1) = 27/75

Jika peristiwa terpilihnya siswa pria dan siswa mengikuti ekstra kurikuler olahraga merupakan suatu kejadian saling bebas maka berlaku :

P(L1∩M) = P(M ∩ L1) = P(L1).P(M)

27/75  =(110/250).(75/250)

0,36 = 8250/62500

0,36 = 0,132

Karena ruas kanan tidak sama dengan ruas kiri maka dapat disimpulkan bahwa peristiwa terpilihnya pria dan  siswa mengikuti ekstra kurikuler olahraga bukan merupakan suatu kejadian saling bebas.

3. n(S)      = banyaknya siswa = 200

n(L1)    = banyaknya siswa pria yang suka matematika = 72

n(L2)    = banyaknya siswa pria yang tidak suka matematika = 48

n(P1)    = banyaknya siswa wanita yang suka matematika = 58

n(P2)    = banyaknya siswa wanita yang tidak suka matematika = 22

a.   Tentukan peluang terambilnya seorang siswa yang senang matematika

Misal M adalah banyaknya siswa yang suka matematika

P(M) = (n(L1) + n (P1))/n(S) = (72 + 58)/200 = 130/200 = 0,65

b.  Tentukan peluang terpilihnya seorang siswa pria yang senang matematika.

N adalah banyaknya siswa pria = 120

P(L1) = n(L1)/n(N) = 72/120 = 0,6

a.       Tunjukkan bahwa senang terhadap matematika tidak saling bebas dengan

jender siswa. Misal jender siswa adalah G = 250

jika kejadian tersebut tidak saling bebas maka berlaku :

P(M ∩ G) ≠ P(M).P(G)

      2/130   ≠ 0,65 x 1

0,015384   ≠ 0,65

Karena ruas kanan ≠ ruas kiri maka terbukti bahwa kejadian senang matematika tidak saling bebas dengan jender siswa.