Apakah Guru Matematika Membutuhkan Teori ?

Resume Buku

Orton, Anthony. 2004. Learning Mathematics : Issue, Theory and Classroom Practice. 

Cassel : University of leeds Centre for Studies Science and Mathematics Education.

Disusun oleh 

Mustofa Arifin 

Apakah Guru Matematika Membutuhkan Teori ?

Pentingnya Teori

Isu pendidikan jarang dibahas sampai tuntas. Seorang Guru mungkin memiliki pandangan yang sangat tegas pada isu tertentu dalam pendidikan matematika, tapi harus pada saat yang sama menerimanya perbedaan, bahkan yang benar-benar bertentangan, pandangan bisa dipegang oleh rekan sejawatnya sekolah. Contohnya tidak sulit ditemukan adalah pengenalan saku kalkulator memicu diskusi dan kontroversi tentang bagaimana dan kapan seharusnya digunakan. Kontroversi mengenai diskusi dalam kegiatan pembelajaran. Perdebatan tentang kalkulus berlanjut dan belum terselesaikan sampai sekarang. Ini menggambarkan beberapa dari banyak masalah yang kemungkinan akan terjadi untuk beragam pendapat dan ketidaksetujuan di antara para guru.

Dalam menerima sudut pandang tertentu, atau memihak pada masalah tertentu bisa dikatakan bahwa seorang guru telah menerima posisi teoretis.. Teori terbatas semacam itu didasarkan pada pengalaman, intuisi dan mungkin bahkan dalam angan-angan. Mereka mungkin membantu, tapi di sisi lain mereka mungkin sangat berbahaya. Misalnya, mengajarkan pembagian pecahan di sekolah dasar? Mungkin, jika tidak mengerti maka anak menjadi bingung, frustrasi dan cemas dan menolak matematika, melihatnya sebagai sesuatu yang tidak berarti dan kegiatan yang tak berharga. Tampak bahwa tugas mengajar tidak bisa dilakukan tanpa menerima pandangan teoritis, meskipun terbatas dan berskala kecil. Dalam pengertian ini muncul bahwa kita membutuhkan teori sebagai dasar bahkan untuk pengambilan keputusan sehari-hari di kelas.

Teori berskala lebih besar, yang mungkin memperjelas proses belajar-mengajar, kadang-kadang dianggap tidak relevan, bahkan tanpa teori tersebut perlu pertimbangan serius. Dan tentu saja, itu juga mungkin bahwa beberapa dari kita menolak teori penggunaan aparatus dalam pembelajaran tersebut karena apabila menerima teori tersebut mungkin memerlukan adopsi suatu gaya pengajaran yang sangat berbeda!

Teori pembelajaran harus sesuai dengan perilaku anak dalam kondisi belajar. Jadi, awalnya mungkin didasarkan pada observasi kelas, tapi seharusnya memungkinkan kita untuk memahami apa yang kita saksikan dan bahkan untuk kita ambil tindakan yang tepat.  Pandangan yang mendasari buku ini adalah bahwa pendidikan terlalu penting bagi kita untuk bisa mengabaikan teori yang tidak relevan pembelajaran dan mencoba melakukan apa yang baru saja dijelaskan. Child (1986) menjelaskan itu dengan mengatakan, '. . . inovasi dan spekulasi dalam pembelajaran. . . lebih cenderung berhasil ketika mereka diberi tahu oleh kerangka teoritis yang masuk akal '. Larkin (1989) menyediakan delapan alasan untuk teori eksplisit, dan mendukung pandangan bahwa, '. . . lebih perhatian terhadap teori bisa bermanfaat bagi bidang pendidikan matematika '. Dia mengakhiri dengan mengatakan bahwa:

Merumuskan teori secara jelas dan singkat, mengaitkan data sangat menantang, kerja kreatif. Itu membuat kita berpikir keras tentang apa yang kita ketahui dan mendorong keingintahuan kita untuk menanyakan lebih jauh tentang apa yang tidak kita ketahui. (hal 275). Secara historis, ada dua jenis teori utama yang telah dikembangkan, yang disebut sebagai 'behaviourist' dan 'kognitif', dan keduanya pasti terjadi konflik. Perbedaan yang paling penting antara keduanya dapat diilustrasikan dengan mengacu pada situasi di matematika primer. Sangat penting bahwa semua siswa memahami nilai tempat. Pada tahap tertentu dalam pendidikan anak-anak,  mintalah mereka menulis 'empat ratus dua puluh tujuh' sebagai sebuah angka. Beberapa anak akan menulis

40027,

yang lain 4027,

atau bahkan 400207,

dan ini bukan satu-satunya jawaban yang ditawarkan dari dalam kelas. Kebanyakan anak-anak, diharapkan dengan tepat akan menulis

427,

Tanggapan yang salah, walupun sedikit, memerlukan perbaikan. Bagaimana seharusnya

tindakan perbaikan harus dilakukan?Bagaimana seharusnya anak-anak itu diajar?konsep di tempat pertama?

Jika pandangan teoretis kita adalah bahwa anak belajar melalui latihan untuk menghasilkan respon yang benar terhadap stimulus yang diberikan, maka kita harus memberi mereka latihan lebih banyak. Seperti pendekatan menggabungkan penggunaan aparatus, namun tujuan dasarnya berdasarkan keyakinan bahwa latihan menjadi sempurna dan bentuk ekstrem, pendekatannya bisa disebut sebagai hafalan belajar. Harus ditekankan bahwa kedua pendekatan kontras ini tidak dimaksudkan menjelaskan sepenuhnya perbedaan antara keyakinan behaviorist dan kognitif tertentu, mereka hanya dimaksudkan untuk menggambarkan kemungkinan interpretasi bisa terwujud diri mereka dalam pelajaran matematika. 

Teori ilmiah terus dimodifikasi, diuraikan dan diklarifikasi dan, dari dari waktu ke waktu, ide-ide baru yang radikal dihasilkan. Di dunia keputusan besar harus dibuat, dan keputusan dibuat berdasarkan pandangan teoretis yang ada. Tidak semua keputusan akhirnya ternyata benar. Teori pembelajaran tertentu mungkin juga salah, atau mungkin perlu kualifikasi atau diubah. Tapi perumusan teori dan pengamatannya dalam tindakan keduanya merupakan bagian dari proses dimana kita memperbaiki pemahaman kita (lihat Davis, 1984, hlm. 22-6, untuk diskusi lebih lanjut mengenai masalah ini). Kita bisa belajar lebih banyak tentang proses belajar jika kita siap untuk mendorong perumusan teori dan kemudian menguji yang mana tampak paling mungkin untuk membantu.

Belajar adalah aktivitas mental. Otak menerima informasi, menafsirkannya, menyimpannya, mengubahnya, mengaitkannya dengan informasi lain untuk membuat informasi baru dan memungkinkan informasi untuk diingat. Otak juga hanya mengembangkan dan mempertahankan sesuatu yang diminta untuk digunakan (Winston, 2003).  Jadi harus jelas bahwa kita bisa mengerti lebih jauh lagi tentang belajar, sebagai aspek psikologi, bila kita lebih mengerti tentang cara kerja otak sebagai aspek fisiologi.

Teori bahwa kemampuan berpikir logis dalam matematika adalah suatu keterampilan yang dapat dialihkan dan dapat dipraktekkan di luar matematika dan dikenal di masa lalu sebagai 'transfer pelatihan' seperti yang dikatakan Shulman (1970, hal 55). karena, tanpanya pembelajaran akan sangat luar biasa lambat dan akan terbatas. 

Kesulitan belajar dianggap guru matematika semakin banyak, pertanyaan hanya bisa dicari jawabannya dari teori. Hadamard (1945) membahas perbedaan besar dalam jenis kemampuan matematis yang ditunjukkan oleh individu. Ada gagasan matematis, seperti rasio dan tingkat, yang mana sering menyebabkan kesulitan bagi banyak orang dewasa, meskipun gagasan itu penting dan relevan dengan kehidupan sehari-hari.

Kompleksitas utama dalam mempelajari suatu subjek adalah hubungan dengan pembelajaran bahasa. Pada tingkat awal, dapat diamati saat anak tidak dapat menguasai matematika karena bahasa tertentu yang digunakan tidak dimengerti. Pada tingkat yang lebih dalam, untuk memahami bahasanya adalah dengan mengerti konsep yang diucapkan kata tertentu. Yang lebih mendasar lagi adalah hubungan antara bahasa dan pembelajaran. Selain itu lingkungan mungkin merupakan faktor penting mempengaruhi baik matematika yang dipelajari dan bagaimana pemahaman matematika berkembang. Oleh karena itu, dapat dipostulasikan bahwa semakin kaya lingkungan semakin banyak efisien dalam pembelajaran, namun sampai batas tertentu menimbulkan pertanyaan. 

Ini adalah beberapa dari banyak aspek pembelajaran matematika yang mungkin kita lakukan mencari jawaban, dan banyak sudut pandang teoretis yang diungkapkan di buku ini untuk menjawab pertanyaan yang diajukan di atas. Maka disarankan guru membutuhkan teori, maka teori utama dari semua jenis dan dari banyak sumber termasuk dalam pembahasan pertanyaan-pertanyaan tertentu. 

Asal-usul teori

Sebagai guru, kita mungkin terlibat dalam penulisan dan interpretasi silabus dan persiapan  skema kerja yang terperinci. Banyak dari kita dipandu, atau  mungkin terkendala, dalam hal seperti itu tugas oleh kurikulum nasional. Bukti yang ada menunjukkan bahwa banyak murid sering gagal menyesuaikan diri. Nilai tempat telah digunakan sebagai contoh topik yang menimbulkan kesulitan untuk banyak murid. Telah dibahas secara lebih rinci di tempat lain, misalnya Brown (1981b) dan Dickson dkk. (1984). Nilai tempat adalah konsep kunci dalam tahap awal belajar matematika, dan tidak bisa dihindari. Dengan demikian, kita perlu menyadari sepenuhnya kesulitan yang dihadapi beberapa anak, dan kita perlu mencari cara untuk membantu anak-anak individu memahami ide dasar ini .

Belajar tidak mudah, tetapi ada banyak topik di sekolah dasar tentang kurikulum matematika yang sulit bagi siswa. Skemp (1964) yang merancang kurikulum dan buku teksnya sendiri, menekankan pandangan bahwa pecahan memberikan contoh nyata tentang matematika. Ide yang sebelumnya diasumsikan sebagai dasar analisis konsepnya menunjukkan sangat jauh dari yang sederhana dibahas di Renwick (1935), tapi kita jelas perlu terus mengingatkan diri kita akan fakta itu.

Pecahan tidak relevan dengan kurikulum, walaupun kita mungkin terlalu berambisi dalam apa yang kita harapkan bisa dicapai dengan banyak murid kita. Pecahan itu bilangan rasional, dan rasionya tanpa mempertanyakan konsep dasar dalam pengembangan pemahaman matematis. Salah satu alasan pentingnya rasio pengajaran (dan proporsi) adalah bahwa ia menyediakan teknik pemecahan masalah yang berguna, baik secara langsung manipulasi atau metode yang dikenal sebagai 'metode kesatuan', atau 'metode latihan '. Renwick (1935) mengemukakan bahwa konsep itu jauh melampaui jangkauan intelektual murid cerdas usia sebelas tahun. Kita harus mengambil bahwa ini bukan sebagai indikasi proporsionalitas harus dihindari dengan segala cara, karena memang begitu mendasar untuk matematika, dan karena itu harus disertakan dalam kurikulum. 

Kita juga harus memperhitungkan bahwa kita semua memiliki kapasitas belajar yang lebih besar, saat kita benar-benar ingin belajar. Kita tidak bisa mengabaikan efek pada kualitas pembelajaran motivasi, minat, tekad dan keinginan untuk sukses. 'Keyakinan diri dapat mempengaruhi keberhasilan mereka dalam matematika (Askew dan Wiliam, 1995).

Isu utama mengenai teori pembelajaran perlu diatasi, mencakup pertimbangan mengapa pembelajaran itu tidak langsung, dan mengapa ada banyak sandungan di blok kurikulum matematika. Untuk mempermudah belajar dan memperbaiki nasib dari anak-anak serta guru matematika maka asal usul teori harus yang dialami oleh murid, dan kesulitan pada topik tertentu menjadi data dasar teori harus dan harus dikumpulkan dengan cara yang handal dan obyektif. 

Adakah Teori Pembelajaran Matematika?

Matematika dan teori belajar

Tempat teori dalam mendukung dan mencerahkan proses belajar matematika adalah tema utama buku ini. Shulman (1970, hal 23) mengatakan "... instruksi matematika cukup sensitif terhadap perubahan psikologis teori ', akan tetapi ,'. . . pendidik matematika telah menunjukkan diri mereka terutama dalam  mengambil teori psikologis yang tersedia dengan mudah ... '. Dalam mencari landasan teoritis yang tepat, ada teori yang secara khusus berkaitan dengan pembelajaran matematika, dan ada teori belajar umum yang jelas relevan. Dan kita dapat mempertimbangkan dua teori matematika belajar, oleh Dienes, dan oleh van Hieles.

Teori matematika matematika Dienes

Dien memulai dari premis bahwa matematika tidak bisa dipelajari dengan cara stimulus-response karena tidak puas yang menyebabkan masalah, itulah kenyataan bahwa pembelajaran matematika begitu terikat dengan struktur pemahaman. Teori matematika yang dihasilkan terdiri dari empat prinsip:

1. Prinsip dinamis

2. Prinsip konstruktivis

3. Prinsip variabilitas matematis

4. Prinsip variabilitas perceptual.

Dien mengambil karya Piaget untuk menunjukkan bahwa belajar adalah proses yang aktif, dan prinsip dinamis untuk pembentukan konsep dengan menyediakan materi pembelajaran yang sesuai dimana anak dapat berinteraksi. Sebenarnya Dienes menerima 'tiga tahap Piaget dalam pembentukan sebuah konsep', yang  disebut tahap bermain, tahap terstruktur, dan tahap latihan. Isu lain yang dipertimbangkan oleh Dienes adalah adanya perbedaan individu (lihat Bab 8). Pandangan belajar ini  menempatkan penekanan besar pada keyakinan bahwa pengetahuan dibangun oleh masing-masing individu dan seringkali tidak bisa diajarkan langsung oleh guru ke murid. 

Teori belajar geometri Van Hiele

Teori Pierre van Hiele dan Dina van Hiele-Geldof adalah hasil dari keprihatinan mereka atas masalah ini dan lainnya. Van Hieles mendalilkan tingkat urutan pemikiran geometris, dan disarankan adanya fase pengajaran yang meningkatkan pembelajaran ide geometris.

Perhatian akan kesulitan yang pendekatan Euclidean untuk geometri menyebabkan terbentuknya Asosiasi untuk Peningkatan Geometris Mengajar pada tahun 1871 (Asosiasi Matematika), dimana pengajaran geometri berisi rekomendasi tentang pengajaran geometri dalam lima tahap. Tahap A dikenal sebagai Eksperimental, tahap di mana pekerjaan harus didasarkan pada masalah nyata seperti pengukuran lahan, dan diilustrasikan dengan penggunaan instrumen gambar dan peralatan sederhana lainnya. Tahap B, Tahap Deduktif, adalah saat teorema dipelajari, dan bukti dipelajari. Tahap C adalah Tahap Sistematis, dan hal itu tidak diantisipasi semua murid akan mencapai tingkat ini sebelum mereka lulus sekolah. Ada dua tahap lainnya (D: Geometri Modern dan E: Filosofi Geometri).

  Burger dan Shaughnessy (1986) telah menggunakan istilah visualisasi, analisis, informal deduksi, deduksi formal dan ketegasan untuk meringkas secara singkat apa sifat masing-masing dari lima tingkat Secara lebih rinci, beberapa karakteristik tingkat adalah sebagai berikut (dikembangkan dari Fuys etaL, 1988 dan Zachos, 1994).

Tingkat 1: Murid hanya bisa mengenali bentuk secara keseluruhan dan tidak bisa menganalisisnya sesuai bagian komponen,  kesan visual dan penampilan mengerahkan pengaruh kuat , sehingga persegi juga tidak bisa menjadi persegi panjang misalnya, jajar genjang.

Tingkat 2: Murid bisa melihat komponen seperti sisi dan sudut tapi tidak bisa berhubungan sifat logis (misalnya dengan melipat, mengukur, atau dengan menggunakan kotak atau diagram). Contoh, semua kotak memiliki empat sisi, sudut segitiga seluruhnya 180 °.

Tingkat 3: Murid dapat menghubungkan sifat dan dapat membuat deduksi sederhana, meskipun makna intrinsik deduksi tidak dipahami misalnya persegi adalah persegi panjang merupakan sebuah pernyataan tidak dapat dipisahkan.

Tingkat 4: Murid dapat menghargai kebutuhan akan definisi dan asumsi, dan dapat memberikan bukti dalam sistem postulasional. Makna deduksi, Berbicara, aksioma, kondisi yang diperlukan dan cukup dapat dipahami.

Level 5: Murid dapat bekerja secara abstrak dan bisa membandingkan sistem, bisa memeriksa konsistensi dan kemandirian aksioma dan dapat menggeneralisasi sebuah prinsip atau teorema untuk menemukan konteks yang paling luas.

Fuys dkk. (1988, hal 8) telah merangkum fitur yang paling penting dari sistem tingkat sebagai:

(a) tingkatnya berurutan;

(b) masing-masing tingkat memiliki bahasa, simbol dan jaringan hubungannya;

(c) apa yang tersirat pada satu tingkat menjadi eksplisit pada tingkat berikutnya;

(d) materi yang diajarkan kepada siswa di atas tingkat mereka tunduk pada pengurangan tingkat;

(e) kemajuan dari satu tingkat ke tingkat berikutnya lebih bergantung pada pengalaman instruksional

dari pada usia atau pematangan;

(f) seseorang melewati berbagai 'fase' dalam melangkah dari satu tingkat ke tingkat berikutnya.

Fase dari (f) digambarkan sebagai informasi, orientasi terpandu, penjelasan, gratis orientasi dan integrasi. Pentingnya teori van Hiele sebagai perbandingan Dengan teori pembelajaran lainnya adalah ketergantungannya pada peran pengajaran.

Evaluasi teori van Hiele mencakup komentar berikut. Bell dkk. (1983) telah menyarankan bahwa Level 2 sangat mirip dengan Tahap A Matematika Asosiasi, membuat Level 1 lebih mendasar lagi yaitu geometri sekolah cenderung harus fokus terutama pada Tingkat 1 sampai 3. Zachos (1994) mengemukakan bahwa di sana sedikit kesempatan untuk menemukan murid yang telah mencapai Level 5, dan sedikit bukti untuk mendukung keberadaan Level 5, seperti yang dijelaskan di atas.  Dan sepertinya Level 5 bersifat hipotetis, dan hanya terdiri dari gagasan geometris tersebut yang tidak tercapai di tingkat bawah. 

Teori pembelajaran bermakna Ausubel

Belajar Bermakna

Teori pembelajaran bermakna yang diusulkan oleh David Ausubel (1968) baginya pembelajaran yang berarti adalah sebuah proses yang melaluinya pengetahuan baru diserap dengan menghubungkannya ke beberapa aspek relevan yang ada dari individu yang sudah ada sebelumnya, struktur pengetahuan. Bagian struktur pengetahuan yang ada dimana pembelajaran baru yang perlu dikaitkan disebut oleh Ausubel sebagai subsumers atau 'konsep subsuming'; Kemudian mereka dikenal sebagai ide 'anchoring' atau konsep.

Bagi Ausubel (1960) membuat lebih umum, lebih abstrak, dan banyak lagi termasuk ide dan pengetahuan yang harus diikuti. Teori Ausubelian harus dianggap sebagai sumber asli untuk gagasan peta konsep, meskipun Novak (1977 dan 1980), Novak dan Gowin (1984) dan banyak lainnya yang telah menganjurkan penggunaannya.  Novak dan Gowin (halaman 15) menyatakan bahwa sebuah peta konsep adalah “sebuah skematik perangkat untuk mewakili seperangkat makna konsep yang disematkan dalam kerangka proposisi yang bekerja untuk menjelaskan kepada siswa dan guru. .ide kunci mereka harus fokus pada tugas pembelajaran yang spesifik ', '. . . memberikan ringkasan skematik dari apa yang telah dipelajari '.

Superordinate dan bawahan belajar

Ausubel (1968) menulis tentang diferensiasi progresif dalam pembelajaran, di mana unsur konsep yang paling inklusif diperkenalkan pertama dan kemudian konsep diulas atau semakin terdiferensiasi dalam hal detail dan spesifisitas. Dia juga menulis tentang superordinate learning, ketika konsep yang sebelumnya dipelajari dipandang sebagai elemen struktur konsep yang lebih besar dan lebih inklusif. Belajar matematika harus melibatkan diferensiasi progresif dan superordinate learning bekerja sama. Novak (1977) mengakui bahwa penentuan apa yang ada dalam suatu badan pengetahuan adalah yang paling umum, paling inklusif konsep dan konsep bawahan yang tidak mudah, jadi kesepakatan yang lengkap perbedaan progresif dan superordinate learning tidak mungkin terjadi. 'Salah satu alasan pengajaran sekolah tidak begitu efektif adalah bahwa perencana kurikulum jarang memilah konsepnya, mereka berharap untuk mengajar dan bahkan lebih jarang lagi mereka mencoba mencari kemungkinan hirarkis hubungan antara konsep-konsep ini '(Novak, 1977, hal 86). Jelas, peta konsep bisa berperan dalam perencanaan kurikulum yang berusaha menganalisa hubungan antara konsep.

Catatan singkat tentang pemrosesan informasi tampaknya ada pada penelitian yang mencoba menyelidiki dan memahami bagaimana informasi yang diproses dalam pikiran dapat mengklaim sebagai bagian dari pendekatan studi tersebut belajar dikenal sebagai pengolahan informasi. Berbagai macam penelitian yang telah dilakukan, bagaimanapun, membuat tidak mungkin untuk mendefinisikan hanya sebuah teori pengolahan informasi Cobb (1987) telah mengklaim bahwa pengolahan informasi psikologi berkembang sebagai alternatif perilaku, dengan mencoba belajar apa yang terjadi antara stimulus dan respon. Sedangkan untuk hubungan dengan Piaget, Sternberg (1989, hal 454) menyatakan:

Teori Piaget itu sesuai dengan teori pemrosesan informasi ditunjukkan oleh fakta bahwa Rumelhart dan Norman. . . telah mengusulkan dua mode akuisisi pengetahuan dalam bahasa pemrosesan informasi yang sesuai hampir persis dengan asimilasi dan akomodasi [disebut 'pertambahan' dan'restrukturisasi'].

Bagian dari pembelajaran berbantuan komputer yang telah dikenal sebagai kecerdasan buatan telah menjadi sangat terkait dengan pendekatan pengolahan informasi namun memiliki banyak kritik dan dukungan. Pendidikan adalah teori teoritis kontemporer yang sering dipelajari manusia komputer sebagai model pikiran manusia. Ingatan terlihat sebagai kunci untuk belajar, untuk tujuan adalah penyimpanan di dalam, dan ingatan ingat dari, ingatan jangka panjang. Dengan demikian komponen komputer berupa input, control, processing, store dan output terlihat sebagai interpretasi sederhana memori jangka panjang Analogi dengan komputer miliki telah diambil lebih jauh, dalam menyarankan bahwa pikiran manusia memiliki kesiapan dan tindakan ROM (read only memory) dari saat lahir.