Matematika dan teori belajar
Tempat teori dalam mendukung dan mencerahkan proses belajar matematika adalah tema utama buku ini. Perdebatan tentang bagaimana matematika dipelajari tercatat sepanjang sejarah pengajaran matematika, namun prosesnya masih belum ditemukan pada satu teori yang diterima secara universal. Shulman (1970, hal 23) mengatakan "... instruksi matematika cukup sensitif terhadap perubahan psikologis teori ', akan tetapi ,'. . . pendidik matematika telah menunjukkan diri mereka terutama dalam mengambil teori psikologis yang tersedia dengan mudah untuk menopang sebelumnya memegang prognosis instruksional '. Beberapa guru matematika dan pendidik telah sangat tertarik untuk melihat teori belajar untuk membantu dalam menentukan Praktik kelas, yang lain belum sadar bahwa ada teori, dan lain-lain telah bereaksi keras terhadap saran yang mungkin dimiliki psikologi apapun untuk ditawarkan Perhatian beberapa guru bahwa tampaknya ada beragam teori yang berbeda dan sulit untuk mengetahui mana yang benar adalah bagian dari teori yang berbeda diskusi di Bab 1. Masalah dengan teori yang diterima secara universal Tentu saja, jadilah begitu banyak guru yang mungkin merasa tertekan untuk mengubah metode pengajaran, dan tekanan seperti itu tidak selalu diterima.
Dalam mencari landasan teoritis yang tepat, ada dua macam permintaan teori perhatian. Ada teori yang secara khusus berkaitan dengan pembelajaran matematika, dan ada teori belajar umum yang jelas relevan. Mengingat kompleksitas sifat kemampuan manusia dan fakta bahwa sangat sulit untuk diisolasi kemampuan matematis dari kemampuan lain dan dari kemampuan keseluruhan (lihat Bab 8), tampaknya masuk akal untuk mengasumsikan bahwa teori pembelajaran umum mungkin banyak ditawarkan. Teori umum tentang pembelajaran pasti tidak bisa diabaikan. Pendekatan teoritis Untuk belajar dikenal sebagai behaviourism adalah contoh teori belajar umum yang menyebabkan aplikasi spesifik untuk matematika (lihat Bab 3). Secara keseluruhan, behaviorisme tidak disukai oleh para pendidik di Inggris, meski sudah banyak digunakan metode pengajaran yang tampaknya terkait erat dengan keyakinan behavioris. Dien (1973, hal 5) tentu tampaknya percaya bahwa behaviorisme tidak disukai, dengan mengatakan '. . . Tidak ada seorang pun hari ini meragukan kenyataan bahwa hubungan respon stimulus mengarah pada sebuah pelatihan yang sebagian besar waktu menyebabkan penyumbatan mental. . . '. Stewart (1985, hal 1) mendukung pandangan saat ini dalam menyatakan bahwa '. . . behaviourism pada dasarnya sebagai teori yang bisa menjelaskan aspek-aspek aktivitas mental manusia secara lebih kompleks '. Namun para ahli berpendapat tentang fungsi otak masih menekankan bagian penting yang dimainkan pengulangan dalam memperbaiki pengetahuan di dalam pikiran. Jelas ada perbedaan penting antara pengulangan dan latihan yang bijaksana dan perlu di satu sisi, dan penggunaan pikiran spontan dan berpotensi mematikan kegiatan stimulus-respons di sisi lain.
Alternatif utama untuk behaviorisme adalah teori pembelajaran kognitif. menurut Piaget (Bab 4) merupakan tengara penting dalam pengembangan penekanan pada kognisi, meski ia tidak berusaha menyajikan gagasannya sebagai pembelajaran teori. Keyakinan Bruner tentang pentingnya kognisi menyebabkannya mempromosikan penemuan belajar (Bab 5), dan ini memiliki efek yang cukup besar pada kurikulum sekolah. Ausubel (1968) juga telah menyajikan sebuah teori komprehensif tentang verbal yang berarti pembelajaran yang menuntut pertimbangan cermat, memasukkan hasil dan konsep yang dijelaskan oleh Piaget , tetapi juga mengkritik keyakinan tentang keampuhannya penemuan pembelajaran.
Teori umum David Ausubel menuntut pertimbangan dalam bab ini. Sebelum itu , bagaimanapun, kita mempertimbangkan dua teori matematika belajar, oleh Dienes, dan oleh van Hieles.
Teori matematika matematika Dienes
Nilai tempat telah disebut sebelumnya sebagai konsep yang sulit. Oleh karena itu relevan untuk mencoba menentukan urutan situasi pembelajaran yang paling tepat , untuk membantu anak-anak mencapai pengetahuan, pemahaman yang diperlukan dan keterampilan. Pendekatan behavioris menyarankan penggunaan situasi stimulus-respons melalui mana koneksi dipraktekkan, namun sulit untuk melihat bagaimana yang mendasarinya Struktur nilai tempat bisa digenggam dengan cara ini, dan mungkin bergantung pada kualitas refleksi berikutnya oleh anak. Pendekatan kognitif menunjukkan hal itu anak-anak harus ditempatkan di lingkungan belajar yang mungkin mereka selidiki, dan mungkin menemukan, dan di dalamnya pemahaman bisa dibangun melalui usaha mereka sendiri. Karya Piaget menunjukkan bahwa anak belajar dengan abstrak dari situasi nyata di mana mereka telah terlibat secara aktif. Aritmatika Multi-basis Blok (MAB) Zoltan Dienes menyediakan lingkungan belajar awal yang dimaksudkan untuk mempromosikan pembangunan pemahaman tentang nilai tempat.
Peralatan MAB terdiri dari'unit ',' rindu ',' flat 'dan' blok 'dalam berbagai variasi dari basis bilangan (lihat juga Bab 5). Masa dasar Dien bentuk MAB ditampilkan di Gambar 10.1. Jika anak-anak mengalami penanganan peralatan ini, kita mungkin berharap mereka akhirnya melakukannya serta akan memperhatikan dan menghargai (dengan atau tanpa intervensi guru) yang ada adalah ekuivalensi - sepuluh unit sampai panjang, sepuluh rindu ke flat dan sepuluh flat ke blok. Ini Struktur harus menjadi jelas jika nilai tempat bisa dipelajari melalui penggunaan ini peralatan. Selanjutnya, anak-anak mungkin bisa menghargai fondasinya perhitungan aritmatika sederhana melalui kegiatan yang melibatkan pertukaran bentuk. Jadi, misalnya, tiga belas unit bisa menjadi satu panjang dan tiga unit, dan membayar kurang dari empat unit dari waktu yang lama akan meninggalkan enam unit. Guru Anak kecil akan tahu bahwa pengajaran berdasarkan aktivitas semacam itu bisa memakan waktu cukup waktu. Sebenarnya, dibutuhkan lebih banyak peralatan, untuk struktur nomor kita Sistem tidak tergantung pada bahan tertentu yang digunakan, jadi korek api, bundel dari sepuluh korek api, dan kotak berisi sepuluh bundel bisa memberikan aktivitas paralel. Ilustrasi penggunaan peralatan Dienes MAB dengan cara ini ditunjukkan di Resnick dan Ford (1984, hal 211). Beberapa guru juga ingin menceraikan nilai tempat konsep dari konsep dasar sepuluh dengan menyediakan aktivitas yang bergantung pada yang lain dasar, seperti enam 'telur' ke kotak telur. Dien menyediakan peralatan MAB dalam berbagai macam dari jumlah dasar hanya untuk alasan yang sama. Garis besar ajaran nilai tempat ini memperkenalkan aplikasi praktis dari teori pembelajaran matematika yang diusulkan oleh Dienes (I960).
Dien mulai dari premis bahwa matematika tidak bisa dipelajari dalam Cara stimulus-response karena tidak puas yang menyebabkan masalah, itu lah Kenyataan bahwa pembelajaran matematika begitu terikat dengan struktur pemahaman. Meskipun peralatan yang disarankan oleh Dienes cukup dikenal guru (lihat Seaborne, 1975) tidak begitu dihargai secara luas aparatusnya mengusulkan, setidaknya sebagian, sebagai cara untuk menempatkan 'Dien Teori Matematika- Belajar 'dalam praktek. Selain MAB, Dien memuji penggunaan Algebraic Experience Material (AEM), Equalizer (Dienes 'Balance) dan Logical Blok, yang kesemuanya mendorong pembangunan pemahaman. Dien menariknya inspirasi awal dari karya Piaget, Bruner dan Bartlett, namun teorinyajuga berdasarkan penelitiannya sendiri. Teori matematika yang dihasilkan terdiri dari empat prinsip:
1. Prinsip dinamis
2. Prinsip konstruktivis
3. Prinsip variabilitas matematis
4. Prinsip variabilitas perceptual.
Dien mengambil karya Piaget untuk menunjukkan bahwa belajar adalah proses yang aktif, dan Prinsip dinamis secara langsung berasal dari asumsi bahwa pembentukan konsep adalah dipromosikan dengan menyediakan materi pembelajaran yang sesuai dimana anak dapat berinteraksi. Sebenarnya Dienes menerima 'tiga tahap Piaget dalam pembentukan sebuah konsep', yang disebut tahap bermain, panggung panggung, dan tahap latihan. Tahap bermainnya adalah Aktivitas dasarnya tidak terstruktur, jadi untuk nilai tempat itu diputar dengan MAB peralatan, atau dengan bahan lain yang sesuai. Akhirnya, sebagai realisasi struktur tumbuh, aktivitas anak bisa diarahkan lebih jauh ke arah struktur, dan Intervensi guru dapat mencoba memastikan bahwa struktur ini digenggam. Praktek struktur kemudian bisa mengarah pada penggunaan latihan latihan yang lebih terbuka, sehingga mudah dilakukan aritmatika dan rekaman perhitungan tertulis. Praktek bermain-struktur Urutan harus dilihat hanya dalam kaitannya dengan konsep tunggal, dan dengan demikian akan ditampilkan lagi dan lagi saat anak-anak mempelajari konsep lain, dan kegiatan praktiknya satu konsep mungkin cocok sebagai aktivitas bermain untuk konsep selanjutnya. Itu harus Juga ditunjukkan bahwa, untuk tiga tahap dinamis selanjutnya menjadi enam (Dienes, 1973), dan juga bahwa tahap bermain mungkin tidak selalu terlihat, bagi murid yang lebih tua.
Dalam konteks tiga tahap Dienes dalam belajar matematika konsep, untuk membandingkannya dengan tiga tahap yang dijelaskan oleh Bruner. Mewakili dunia, atau menerjemahkan pengalaman menjadi model dunia, Bruner (1966) mengemukakan bahwa tahapan pembelajaran itu enaktif, bersifat ikonik dan simbolis. Tahapan selanjutnya dijabarkan dalam Bruner et al. (1966). Banyak bentuk pengetahuan bisa hanya bisa dipelajari dengan cara yang aktif, seperti mengendarai sepeda atau bermain tenis. Menurut Bruner (seperti halnya Piaget dan Dienes), fase awal belajar abstrak Konsep seperti nilai tempat mungkin juga memerlukan pendekatan enaktif, dengan anak-anak terlibat dalam memanipulasi peralatan beton. Pendekatan kedua untuk belajar adalah penggunaan gambar visual, sehingga benda beton bisa jadi menjadi representasi ikonik seperti gambar objek. Buku teks, kartu kerja dan bahan tertulis lainnya sangat bergantung pada pendekatan ikonik. Namun, gagasan matematis bisa dipelajari langsung dari gambar dan tanpa ketergantungan sebelumnya pada representasi aktif. Pendekatan terakhir untuk belajar adalah simbolis, melalui bahasa dan melalui simbol lain dari matematika . Tentu bagi beberapa murid beberapa konsep matematika bisa dipelajari langsung melalui manipulasi simbol dan tanpa ketergantungan sebelumnya baik pendekatan enaktif atau ikonik. Ketiga tahap itu bisa dianggap sekuensial Pendekatan untuk mempelajari konsep atau struktur seperti nilai tempat, dengan peralatan beton diikuti dengan gambar, diikuti dengan tugas pensil dan kertas. Atau, ketiganya bentuk representasi dapat dianggap sebagai tiga pendekatan pembelajaran yang berbeda, dengan kesesuaian mereka terkait dengan karakteristik pelajar tertentu seperti pengalaman dan pengetahuan sebelumnya, dan karakteristik dari konsep atau struktur sedang dipelajari. Bruner tidak menyarankan adanya hubungan langsung antara keduanya tahap enaktif, ikonik dan simbolis dalam mempelajari konsep dan tahap baru dari perkembangan intelektual yang disarankan oleh Piaget. Tentu saja, ada perasaan bahwa kesesuaian bentuk representasi tertentu terkait dengan usia pelajar akan menunjukkan aspek perkembangan teori yang tidak dimaksudkan oleh Bruner. Jadi Piaget, Bruner dan Dienes semua telah mengenalkan gagasan tentang tahapan pembelajaran, dan meskipun tahap ini berbeda, mereka semua dapat mengklaimnya agar relevan untuk mencoba memahami bagaimana anak belajar.
Dien juga percaya bahwa matematika harus menjadi kegiatan yang konstruktif bagi anak-anak, bukan analitik. Pemikiran logis formal, tergantung pada analisis, mungkin juga menjadi sesuatu yang orang dewasa dapat terlibat, namun prinsip konstruksional didasarkan pada Keyakinannya bahwa anak perlu membangun pengetahuan mereka sendiri. Dalam kasus nilai tempat, hal ini dilakukan dengan menggunakan berbagai bentuk kegiatan nyata, mungkin di berbagai basis nomor. Menarik untuk berspekulasi tentang hubungan tersebut antara tahap operasional beton Piaget dan pandangan Dien tentang pembangunan pengetahuan, dan hubungan antara tahap operasional formal Piaget dan kemampuan berpikir analitis. Dien tidak mengacu pada teori panggung Piagetian secara langsung dalam eksposisi teorinya. Keyakinan ini bahwa anak-anak perlu membangunnya Pemahaman, dan memang hanya bisa membangun, adalah contoh pandangan yang sekarang digolongkan sebagai konstruktivis (lihat Bab 11).
Isu bagaimana mempercepat pembelajaran matematika dijawab oleh Dienes dalam hal menyediakan beragam pengalaman belajar. Diskusi konsep sebelumnya di buku ini (Bab 2) telah menarik perhatian pada fakta bahwa konsep menggambarkan beberapa keteraturan atau hubungan dalam kelompok fakta (Novak, 1977), dan konsep itu belajar dari contoh dan contoh balasan (Skemp, 1971). Dien menyimpulkan bahwa Konsep matematika biasanya berisi sejumlah variabel dan itu adalah Keteguhan hubungan ini, sementara variabel itu sendiri bervariasi, yang merupakan konsep matematika. Hal ini menyebabkan Dienes ke matematika prinsip variabilitas Di tempat nilai, penting bagi Dienes yang seharusnya dimiliki anak-anak Bekerja dengan berbagai basis bilangan. Saat belajar tentang parallelograms, Contoh lain yang dipertimbangkan oleh Dienes, sangat penting bahwa panjang, sudut dan orientasi semuanya harus bervariasi. Padahal, orientasinya seringkali belum beragam di pengalaman banyak anak, dan keyakinan bahwa sebuah persegi di orientasi tertentu adalah
Bukan persegi tapi itu 'berlian' disebutkan di Bab 2. Guru kurang mampu Anak-anak sering tidak yakin dengan saran bahwa berbagai basis bilangan adalah penting, percaya bahwa pendekatan semacam itu bisa membingungkan. Anjuran untuk menerapkan Prinsip variabilitas matematika dalam mengajarkan tentang bentuk geometris, bagaimanapun tidak bisa diabaikan
Isu lain yang dipertimbangkan oleh Dienes adalah adanya perbedaan individu (lihat Bab8). Hal ini menyebabkan dua rekomendasi, satu adalah untuk mengatur pembelajaran pada individuatau kelompok kecil, mungkin menggunakan kartu kerja, dan yang lainnya adalah perseptualprinsip variabilitas . Ia menganggap penting bahwa representasi perseptual sebuah konsep harus bervariasi, sehingga, pada nilai tempat, kayu yang disediakan secara khusus atau blok plastik dari MAB tidak akan cukup. Gagasan tentang kecocokan atau sedotan dan bundel pertandingan atau sedotan telah disebutkan. Beberapa penulis miliki disarankan berbagai penghitung berwarna (5 kuning = 1 hijau, 5 hijau = 1 merah, dll) tapi Ada kekurangan dengan peralatan ini karena, perseptual, satu counter satu warna tidak terlihat setara dengan lima warna lainnya. Dien juga menyarankan bahwa beberapa bahan AEM, berdasarkan bentuk selain cuboids, adalah tepat untuk nilai tempat Dalam kasus parallelograms, ini dapat diwakili pada kertas dan papan tulis, bisa terbuat dari kayu, logam dan plastik, bisa digariskan dengan pasak pada pegboard atau pita elastis pada nailboard, dibuat dengan cara meletakkan dua segitiga kongruen bersama atau dengan membagi persegi panjang, dan dapat dilihat dalam kehidupan nyata, misalnya di jendela dan fitur bangunan dan lantai lainnya, dan dalam pola wallpaper dan banyak desain lainnya. Kebutuhan akan Variabilitas ', Dalam kedua matematika dan material, sering disebut sebagai prinsip multiple perwujudan.
Keempat prinsip Teori Matematika Dienes tidak dimaksudkan untuk hanya menerapkan konsep matematika dasar. Salah satu aspek yang paling sulit Matematika yang lebih maju dan abstrak adalah aljabar. Perhatian sudah tertarik pada penggunaan balok kayu Dienes AEM tertentu untuk mempromosikan pemahaman awal dari (x+a)= (lihat Bab 4). Apakah pemahaman tadi bisa dicari atau tidak, tidak ada keraguan bahwa peralatan bisa digunakan untuk Pendekatan ekspansi kuadrat secara konstruktif daripada secara abstrak. Yang konstruktif Pendekatan mungkin melibatkan baik menggunakan kuadrat kayu atau plastik dan persegi panjang,
dan
Jadi kita bisa menyimpulkan itu, secara umum
Rumusnya telah dibangun, namun belum terbukti. Jumlahnya telah bervariasi, namun strukturnya tetap sama, jadi variabilitas matematisnya telah ada terapan. Hasil yang sama bisa didekati menggunakan daerah kuadrat pada nailboard, daerah berwarna pada kertas kuadrat biasa, atau peralatan Dienes MAB, begitu perseptual
variabilitas bisa diterapkan. Hasilnya bisa diperpanjang, dengan proses konstruksi, sampai
dan juga
dan seterusnya, sampai seluruh rentang ekspektasi kuadrat mungkin telah dieksplorasi,dan generalisasi yang tepat dibangun.
Teori Dien Matematika-Belajar sangat memuaskan dalam beberapa cara. Ini jelas merupakan pendekatan kognitif, dan didasarkan pada karya Piaget, Bruner, Bartlett dan Wertheimer. Beberapa masalah penting lainnya seperti bagaimana mempercepat pembelajaran dan bagaimana mengatasi perbedaan individu . Pandangan belajar ini menempatkan penekanan besar pada keyakinan bahwa pengetahuan dibangun oleh masing-masing individu dan seringkali tidak bisa diajarkan langsung dari guru ke pelajar. Tapi teori Dienes memiliki keterbatasan. Prinsip konstruksional berhubungan dengan pembelajaran konsep individu, dan hubungan antara pembelajaran konsep baru dan struktur pengetahuan yang sudah ada dalam pikiran tidak dipertimbangkan. Bagaimanapun Matematika adalah subjek yang sangat hierarkis di mana pengetahuan baru harus diamankan ke pengetahuan yang ada; jika prasyarat belum menguasai Pengetahuan baru maka tidak bisa dipelajari. Juga tidak masalah kesiapannya secara eksplisit ditangani oleh Dienes . Secara diam-diam diasumsikan bahwa mengadopsi keempat prinsip itu akan menyebabkan belajar, dan juga bahwa lupa tidak akan terjadi. Tentu, jelas bahwa komunitas guru matematika dan pendidik belum menerima teori sebagai jawaban akhir untuk apapun. Dienes mengusulkannya sebagai kerangka yang layak teori belajar matematika, dan belum tentu sebagai jawaban akhir. Oleh karena itu ditafsirkan sebagai kontribusi yang bermanfaat untuk diperdebatkan, dari seorang pendidik kepada siapa Inti dari matematika adalah struktur. Semua itu harus diterima dengan rasa syukur, Bagaimanapun Dienes telah memberi kita banyak gagasan untuk mengajar. Khususnya, Banyak guru percaya bahwa manipulatif yang dipromosikannya sangat berharga.
Van Hiele teori belajar geometri
Siapa pun yang telah mencoba mengajarkan geometri Euclidean kepada remaja pasti sudah demikian frustrasi karena ketidakmampuan mereka untuk memahami sifat pembuktian. Pertama Tempat, beberapa murid sepertinya tidak melihat adanya bukti, terutama jika berhubungan dengan Hasilnya terlihat jelas benar. Di tempat kedua, telah ditunjukkan bukti oleh Guru, beberapa murid dengan jelas mengungkapkan bahwa mereka tidak benar-benar memahami dengan tepat apa telah tercapai. Hasil penetapan pengendara sebagai tugas kelas atau pekerjaan rumah sangat Kemungkinan hasil pada guru harus menyediakan semua atau hampir semua solusi di masa depan hari. Teori Pierre van Hiele dan Dina van Hiele-Geldof adalah akhirnya hasil dari keprihatinan mereka atas masalah ini dan lainnya. Setelah mempelajari karya Piaget, mereka berpikir bahwa murid mungkin bisa mengembangkan kompetensi geometris berkembang dalam jangka waktu tertentu melalui tingkat pemikiran yang berurutan. Jadi, jika murid tidak mampu mengatasi tugas geometri tertentu yang mungkin terjadi karena
penyelesaian menuntut tingkat berpikir yang lebih tinggi dari yang dicapai murid sejauh ini. Dengan kata lain, van Hieles mendalilkan tingkat urut pemikiran geometris, Selain itu, disarankan adanya fase pengajaran yang dimaksudkan untuk meningkatkan pembelajaran ide geometris
Bagi guru-guru Inggris yang lebih tua, semua ini mungkin mengingatkan pada rekomendasi lama dari Asosiasi Matematika (1923, 1939) - Di Inggris, penelitian geometri pada dasarnya adalah Euclidean sampai sekitar tahun 1970, saat diperkenalkannya Apa yang secara longgar disebut 'matematika modern' memperkenalkan gagasan transformasi, matriks dan vektor. Saat ini, sulit untuk menggambarkan geometri Inggris Kurikulum sederhana, tapi pastinya bukan Euclidean. Namun di banyak negara lain yang ada di dunia, geometri Euclidean masih diajarkan. Perhatian akan kesulitan yang pendekatan Euclidean untuk geometri disajikan bahkan untuk murid pintar diungkapkan oleh banyak pendidik di Inggris sepanjang paruh kedua abad kesembilan belas abad ke-20 dan ke-20 (lihat, misalnya, Kementerian Pendidikan, 1958). Ini Perhatian menyebabkan terbentuknya Asosiasi untuk Peningkatan Geometris Mengajar pada tahun 1871 (kemudian berganti nama menjadi Asosiasi Matematika), yang dua laporannya pengajaran geometri berisi rekomendasi tentang pengajaran geometri dalam lima tahap.
Tahapan yang dianjurkan oleh Asosiasi tersebut membahas masalah kesulitan intrinsik geometri Euclidean, dan memberikan rekomendasi praktis mengenai bagaimana murid bisa diajar pada berbagai tahap. Deskripsi tahapan dengan saran kurikulum mereka tetap menjadi pedoman utama pengajaran geometri di Inggris sampai akhir abad ke-20. Tahap A dikenal sebagai Eksperimental Tahap, di mana pekerjaan harus didasarkan pada masalah nyata seperti pengukuran lahan, dan diilustrasikan dengan penggunaan instrumen gambar dan peralatan sederhana lainnya. Pada waktunya, diklaim, fakta mendasar akan muncul, berkaitan dengan sudut, garis dan segitiga (Asosiasi Matematika, 1923). Pengurangan harus bertahap secara perlahan, dan biasanya dilakukan secara lisan. Tahap B, Tahap Deduktif, adalah saat teorema dipelajari, dan bukti dipelajari. Kepentingan utama di sini adalah dalam sistematik proses, tapi diterima bahwa naluri sistematisasi tidak kuat berkembang bahkan sampai usia 15 tahun (untuk murid selektif!). Itu juga dianggap lebih baik bereksperimen dan selidiki bukan untuk mencoba bukti sifat yang muncul jelas benar Tahap C adalah Systematizing Stage, dan hal itu tidak diantisipasi semua murid akan mencapai tingkat ini sebelum mereka berhak meninggalkan sekolah. Ada dua tahap lainnya (D: Geometri Modern; dan E: the Philosophy of Geometry) menjadi dikejar kemudian, tapi sangat sedikit murid yang pernah sampai karena geometri yang keenam Bentuknya berdasarkan koordinat.
Meski tahapan dari Asosiasi Matematika mewakili usaha awal untuk tahap pengajaran geometri sesuai dengan pertimbangan perkembangan, Kenyataan bahwa bahkan murid terbaik pun hanya sampai di Tahap B adalah hasil yang tak terelakkan dari pembagian materi dan pendekatan yang sangat luas. Keyakinan van Hieles Tahap yang agak sempit jelas dari klaim mereka telah menemukan hal itu di sana . Ada kalanya muncul pembelajaran yang berhenti, dan gurunya tidak mampu Bawa murid lebih jauh sampai nampaknya anak-anak sudah matang (atau mencapai yang lebih tinggi tingkat pemikiran). Mereka menganalisis sifat tingkat geometris postulat mereka Berpikir jauh lebih detail daripada Asosiasi Matematika, dan meskipun karya Piaget (lihat Bab 4) membentuk salah satu basis, mereka jelas tidak menerima semuanya yang menurut Piaget. Keempat prinsip teori Gestalt dan pandangan Gestalt terhadap pentingnya wawasan (lihat Bab 5) memberikan latar belakang teoritis tambahan, Misalnya, untuk menjelaskan mengapa murid Tingkat 1 tidak dapat dengan mudah membedakan komponennya sebuah konfigurasi geometris. Mereka juga percaya bahwa murid membutuhkan sesuatu yang khusus, pengalaman belajar mengajar untuk membantu mereka maju dari satu tingkat ke tingkat berikutnya. Burger dan Shaughnessy (1986) telah menggunakan istilah visualisasi, analisis, informal deduksi, deduksi formal dan ketegasan untuk meringkas secara singkat apa sifat masing-masing dari lima tingkat Secara lebih rinci, beberapa karakteristik tingkat adalah sebagai berikut (dikembangkan dari Fuys etaL, 1988 dan Zachos, 1994).
Tingkat 1: Murid hanya bisa mengenali bentuk secara keseluruhan dan tidak bisa menganalisisnya sesuai bagian komponen; kesan visual dan penampilan mengerahkan pengaruh kuat , sehingga persegi juga tidak bisa menjadi persegi panjang; gambar bentuk didasarkan pada kesan holistik dan tidak pada komponen; nama dapat ditemukan untuk bentuk sesuai dengan penampilan mereka, misalnya, 'slanty rectangle' untuk jajar genjang.
Level 2: Murid bisa melihat komponen seperti sisi dan sudut tapi tidak bisa berhubungan sifat logis; sifat dan aturan kelas bentuk dapat ditemukan secara empiris (misalnya dengan melipat, mengukur, atau dengan menggunakan kotak atau diagram); sebuah figur dapat diidentifikasi dari propertinya; generalisasi menjadi mungkin, Sebagai contoh, semua kotak memiliki empat sisi, sudut segitiga seluruhnya 180 °.
Tingkat 3: Murid dapat menghubungkan sifat dan dapat membuat deduksi sederhana, meskipun makna intrinsik deduksi tidak dipahami; sebuah bentuk mungkin didefinisikan dengan menggunakan jumlah minimum properti; penalaran bisa digunakan untuk menetapkan bahwa persegi adalah persegi panjang; sebuah pernyataan tidak dapat dipisahkan dari berbicara.
Tingkat 4: Murid dapat menghargai kebutuhan akan definisi dan asumsi, dan dapat memberikan bukti dalam sistem postulasional; makna deduksi, Berbicara, aksioma, kondisi yang diperlukan dan cukup dapat dipahami; bukti sebagai wewenang terakhir diterima; hubungan antar jaringan teorema bisa didirikan
Level 5: Murid dapat bekerja secara abstrak dan bisa membandingkan sistem, bisa memeriksa konsistensi dan kemandirian aksioma dan dapat menggeneralisasi sebuah prinsip atau teorema untuk menemukan konteks yang paling luas.
Fuys dkk. (1988, hal 8) telah merangkum fitur yang paling penting dari sistem tingkat sebagai:
(a) tingkatnya berurutan;
(b) masing-masing tingkat memiliki bahasa, simbol dan jaringan hubungannya;
(c) apa yang tersirat pada satu tingkat menjadi eksplisit pada tingkat berikutnya;
(d) materi yang diajarkan kepada siswa di atas tingkat mereka tunduk pada pengurangan tingkat;
(e) kemajuan dari satu tingkat ke tingkat berikutnya lebih bergantung pada pengalaman instruksional
dari pada usia atau pematangan;
(f) seseorang melewati berbagai 'fase' dalam melangkah dari satu tingkat ke tingkat berikutnya.
Fase dari (f) digambarkan sebagai informasi, orientasi terpandu, penjelasan, gratis orientasi dan integrasi. Pentingnya teori van Hiele sebagai perbandingan Dengan teori pembelajaran lainnya adalah ketergantungannya pada peran pengajaran.
Evaluasi teori van Hiele mencakup komentar berikut. Bell dkk. (1983) telah menyarankan bahwa Level 2 sangat mirip dengan Stage A dari Matematika Asosiasi, yang membuat Level 1 lebih mendasar lagi yaitu geometri sekolah cenderung harus fokus terutama pada Tingkat 1 sampai 3. Zachos (1994) mengemukakan bahwa di sana sedikit kesempatan untuk menemukan murid yang telah mencapai Level 5, dan begitulah adanya sedikit bukti untuk mendukung keberadaan Level 5, seperti yang dijelaskan di atas. Sepertinya Level 5 bersifat hipotetis, dan hanya terdiri dari gagasan geometris tersebut yang tidak tercapai di tingkat bawah. Penelitian selanjutnya, sebagian besar dilakukan di AS, telah mempelajari tesis dasar (tingkat yang dapat diidentifikasi, diskrit dan membentuk hierarki), pola tingkat pada populasi tertentu, dan kemungkinan mendasarkan instruksi dan bahan pembelajaran pada model. Salah satu hasil yang menarik adalah keraguan serius tentang diskresi dan globalitas tingkat, karena seorang anak tampaknya bisa bertindak pada tingkat yang berbeda dalam konteks yang berbeda dan bahkan bisa berubah tingkat dalam tugas yang sama (Hershkowitz, 1990). Hal ini, tentu saja, mengingatkan kita pada masalah 'pembagian' dalam teori Piagetian. Usiskin (dilaporkan di Zachos, 1994) mampu memberikan sekitar 90 persen sampel besar siswa Amerika ke sebuah van Hiele tingkat dengan cukup percaya diri. Itu adalah murid-murid yang sedang dalam masa transisi yang sulit dikelompokkan. Senk (dalam Zachos, 1994) mengemukakan bahwa ukuran pengetahuan tentang konten akan memiliki kekuatan prediktif yang sama seperti tingkat van Hiele, Yaitu akan sama baiknya. Meski begitu, apapun keraguannya, literatur mengungkapkan Antusiasme sejati tentang kemungkinan menemukan cara memperbaiki pembelajaran dari geometri dengan membangun pengetahuan yang diperoleh dari penelitian ke van Hiele tingkat. Sebenarnya, teori tersebut telah mempengaruhi dan mengubah pengajaran geometri di berbagai bidang negara-negara di seluruh dunia, misalnya, Uni Soviet di tahun 1960an.
Teori pembelajaran bermakna Ausubel
Belajar Bermakna
Setiap teori belajar matematika harus memperhatikan struktur subyek. Tidak mungkin mempelajari bilangan bulat dan bilangan rasional , sebelumnya bilangan natural dipahami secara bermakna. Pembelajaran lebih berarti daripada pengetahuan tentang sistem bilangan yang memungkinkan perhitungan dan perhitungan sederhana. Ini menyiratkan pemahaman tentang kendala, misalnya, pengurangan dan pembagian tidak bisa selalu dilakukan dalam hitungan bilangan natural. Bila sudah ada Struktur pengetahuan cukup banyak dan bervariasi, dan lebih baik lagi saat anak mengajukan pertanyaan yang membutuhkan masukan baru dan waktu yang tepat untuk menyuntikkannya konsep baru Jika usaha dilakukan untuk memaksa anak mengasimilasi dan mengakomodasi Ide baru itu tidak bisa dikaitkan dengan pengetahuan yang sudah di ketahui Struktur ide hanya bisa dipelajari dengan hafalan. Berbagai contoh harus diilustrasikan titik ini.
Algoritma untuk menghitung mean aritmetik adalah metode yang sederhana. Ini sangat sederhana bahwa itu semua terlalu mudah untuk mengajar tanpa memperhatikan, untuk menghubungkan algoritma dengan cara yang berarti untuk pengetahuan yang ada. Tanpa seperti itu algoritma akan belajar dengan hafalan dan kemungkinan akan dilupakan. Ini juga tidak akan mempromosikan fleksibilitas berpikir, seperti yang dibutuhkan untuk mengatasi peningkatan jumlah angka yang ada dirata-ratakan. Pada dasarnya, mean aritmetik adalah salah satu dari beberapa tindakan yang terkait dengan gagasan tentang nilai representatif Anak-anak yang menulis ke teman pena mungkin ingin disertakan beberapa informasi tentang kelas mereka Dari segi ketinggian mereka bisa mengatakan, 'kita semua Tinggi 150 cm ', atau' berat badan kita persis tingginya 148 cm (cm terdekat) ', atau 'kita berkisar dari 140 cm sampai 157 cm'. Gagasan mean, median, mode dan jangkauan dapat dilihat sebagai upaya untuk menyampaikan informasi tentang populasi, dan Nilai komparatif, terutama dari tiga bentuk rata-rata, perlu pembahasan. Situasi lain yang akrab bagi anak-anak berkaitan dengan berbagi permen. Jika guru meninggalkan kaleng permen untuk anak-anak untuk membantu diri mereka sendiri, anak-anak yang berbeda akan mengambilnya jumlah permen yang berbeda, dan itu tidak akan dianggap adil. Alih-alih Adam memiliki delapan, Stephanie memiliki tujuh, Inder memiliki tiga dan Darren memiliki dua mereka Sebaiknya semua benar-benar memiliki jumlah permen yang sama, yang bisa kita hitung dengan cara meletakkannya semua permen bersama dan membagikannya. Setara abstrak adalah untuk menambahkan Jumlah permen yang dipegang oleh semua anak dan kemudian dibagi dengan jumlah anak. Dengan kata lain, mungkin untuk menghubungkan gagasan tentang mean aritmatika yang sebelumnya dipegang pengetahuan, sehingga menyampaikan gagasan dengan cara yang berarti.
Pengenalan rasio sinus dan kosinus terhadap murid sekolah menengah perlu dilakukan terkait dengan beberapa gagasan, termasuk kesamaan (atau pembesaran) dan rasio, segitiga, sudut kanan, sudut dan panjang lainnya. Arti dan tujuan sebenarnya dari sinus dan kosinus tidak akan diserap jika kedua rasio ini tidak terkait dengan pengetahuan sebelumnya dan dengan semacam motivasi seperti kebutuhan untuk bisa melakukan perhitungan. Seringkali baik motivasi atau pengetahuan sebelumnya tidak ada. Dalam istilah dari pengetahuan sebelumnya, baik kesamaan dan rasio adalah ide yang sulit, dan mungkin juga tidak cukup terbentuk. Bagaimanapun kita harus mengakui bahwa mereka mungkin menjadi lebih baik terbentuk melalui studi trigonometri elementer, namun jika tidak ada pengetahuan yang relevan Sama sekali, sinus dan kosinus sekali lagi harus dipelajari dengan hafalan. Itu Masalah motivasi tidak mudah dipecahkan, karena situasi kehidupan nyata yang berbeda mungkin bermakna bagi murid yang berbeda. Sebuah link dengan pengetahuan sebelumnya, bagaimanapun, adalah penting.
Pengetahuan matematika tertentu sangat mendasar sehingga tidak ada yang relevan , pengetahuan sudah ada di benak yang ide-ide baru bisa dihubungkan. Anak kecil Biasanya menikmati mencoba slot benda aneh berbentuk benda kayu atau plastik melalui lubang di bagian atas sebuah kotak, dirancang sedemikian rupa sehingga hanya satu bentuk yang sesuai dengan satu lubang saja, dan hanya dengan satu orientasi tertentu. Ini adalah proses penemuan untuk anak-anak selesaikan permasalahan ini , tapi akhirnya mereka menjadi cukup mahir dan minat mereka berkurang. Permainan khusus ini mengajarkan mereka banyak ruang dasar pengetahuan. Pada tahap selanjutnya dalam kehidupan murid mungkin diberikan Cuisenaire (atau lainnya) batang ke bermain dengan, dan akan menemukan bahwa 'merah' + 'hijau pucat' = 'kuning, dan' oranye '-' pink '= 'hijau tua'. Tanpa periode penemuan seperti itu menggunakan batang berwarna, atau menggunakan manik-manik atau counter, atau menggunakan peralatan lain, sulit untuk melihat bagaimana anak bisa belajar dasar kombinasi angka Satu-satunya alternatif akan muncul dengan hafalan. Pengetahuan matematika tertentu sangat mendasar sehingga mungkin tidak ada bagian dari struktur pengetahuan yang ada yang dengannya bisa dihubungkan.
Teori pembelajaran bermakna yang diusulkan oleh David Ausubel (1968) adalah seorang jenderal teori dan tidak spesifik untuk matematika. Ini menggabungkan gagasan yang disajikan di atas i, bagi Ausubel pembelajaran yang berarti adalah sebuah proses yang melaluinya pengetahuan baru diserap dengan menghubungkannya ke beberapa aspek relevan yang ada dari individu yang sudah ada sebelumnya, struktur pengetahuan Jika tidak ada konsep relevan yang ada dalam pikiran Pengetahuan baru bisa dikaitkan, pengetahuan baru pasti ada dipelajari dengan hafalan dan disimpan dengan cara yang sewenang-wenang dan tidak terputus. Jika pengetahuan baru diasimilasikan dalam struktur pengetahuan yang ada sebagai unit terkait, dan jika modifikasi yang tepat dari pengetahuan sebelumnya (akomodasi) berlangsung, maka hasil Belajar berarti. Oleh karena itu semua tidak perlu , atau mungkin banyak pengetahuan untuk diakuisisi oleh proses penemuan. Pengajaran ekspositori yang baik bisa pastikan pengetahuan baru terkait dengan ide-ide yang ada, dan ini mungkin tidak hanya akan lebih ekonomis (dalam hal waktu yang dibutuhkan) daripada penemuan, mungkin saja lebih efisien dalam hal kualitas dan keluasan pembelajaran. Jika Anda benar-benar bisa memastikan Apa yang pelajar sudah tahu, Anda kemudian akan tahu apa dan bagaimana cara mengajarnya. Beberapa Pembelajaran penemuan akan sangat dibutuhkan oleh anak-anak yang masih kecil, dan pada tahap ini. Kehidupan penekanan akan perlu untuk mendorong pembentukan konsep daripada mengajar untuk akuisisi konsep. Tapi begitu struktur pengetahuannya kaya , cara belajar yang paling efisien untuk melanjutkan adalah dengan eksposisi. Metode penemuan Mungkin sesekali cocok, tapi jarang dengan murid yang lebih tua. Pembelajaran verbal bisa, dalam kebanyakan keadaan, paling tidak sama efektifnya dan dalam beberapa hal ebih baik dari metode lainnya
Jelas sikap teoretis ini hanya bisa menjadi kenyataan jika seseorang bisa mencarinya detail yang cukup, dan dengan cara yang dapat diandalkan, apa yang pelajar sudah tahu, dan jika seseorang bisa maka pastikan bagus, berlawanan dengan pengajaran ekspositori yang acuh tak acuh atau buruk. Diberikan bagus mengajar, jika materi pelajaran tidak cukup dipelajari, maka alasannya adalah menjadi demikian murid tidak memiliki dasar pengetahuan yang relevan tentang jangkar ide baru. Tentu saja, diperlukan bagi semua anggota kelas untuk mendapatkannya dasar pengetahuan yang dibutuhkan, sesuatu yang tidak mudah didapat di situasi sekolah normal Kesulitan seperti itu tidak akan membuat teori ini salah, tapi akan melakukannya menimbulkan masalah bagi guru
Teori pembelajaran bermakna Ausubel mengandung sejumlah gagasan lain yang memerlukan pembahasan pada waktunya, hubungan antara gagasan dari Ausubel dan Piaget menuntut perhatian. Ausubel menggunakan data yang dikumpulkan oleh Piaget, menerima gagasan asimilasi dan akomodasi, dan dari waktu ke waktu disebut ke tahap 'konkret' dan 'formal' atau 'abstrak', tanpa menerima implikasi penuh teori panggung Piagetian. Novak (1977), yang karyanya sendiri dijelaskan, diklarifikasi dan Teori Ausubelian yang diperluas, mengklaim bahwa tidak ada konflik operasional antara gagasan tersebut dari Piaget dan Ausubel. Dalam hal kesiapan, pandangan Ausubel lebih dekat dengan itu Gagne dari pada Piaget. Bagian struktur pengetahuan yang ada dimana pembelajaran baru yang perlu dikaitkan disebut oleh Ausubel sebagai subsumers atau 'konsep subsuming'; Kemudian mereka dikenal sebagai ide 'anchoring' atau konsep. Jadi, jika ada subsumers, muridnya siap secara efektif. Kesiapan hanya terkait dengan tahap perkembangan dalam interpretasinya yang paling terbuka sebagai ketergantungan memiliki lebih banyak dan lebih baik dikembangkan subsumers. Shulman (1970) tentu saja mengungkapkannya pandangan bahwa Ausubel dalam kesepakatan mendasar dengan Gagne karena kuncinya Kesiapan adalah pengetahuan prasyarat. Novak (1977), bagaimanapun, menunjukkan bahwa dia Anggap pandangan Ausubel tentang kesiapan sudah dekat dengan Bruner. Mungkin ini bisa terjadi diambil sebagai indikasi kekuatan mendamaikan teori Ausubelian! Bagi Ausubel, Bahkan jika anak itu belum siap dalam arti memiliki subsumers yang sesuai, semua tidak hilang Lalu ada kemungkinan menggunakan pengelola muka untuk menjembatani kesenjangan
Perbanyakan matrik bisa tampak sangat sewenang-wenang, kompleks dan tidak berarti murid, dan di situlah letak resep bencana dalam hal pembelajaran yang berarti. Meskipun mencoba memotivasi ide tersebut dengan menggunakan tagihan belanja dan sejenisnya, usaha untuk mendasarkan perkenalan pada geometri transformasi atau secara simultan Persamaan, ada aspek sewenang-wenang terhadap prosedur. bagaimanapun perbanyakan matriks penting untuk pengembangan jangka panjang dari pemahaman aljabar modern, dan mungkin bisa diterapkan, sebagai teknik, dalam sejumlah topik yang berbeda di sekolah matematika (meskipun tampaknya melompat masuk dan keluar dari silabus yang ditentukan seperti yo-yo). Penulis yang berbeda telah menggunakan berbagai cara untuk mengenalkan matriks perkalian tapi Matthews (1964) menggunakan metode yang sangat cerdik. Pesan rahasia harus diberi kode untuk transmisi dengan: (a) mewakili setiap huruf dengan angka; (b) mengubah pesan ke string angka; (c) mengelompokkan nomor urut di empat sebagai matriks 2 X 2 dan (d) menerapkan matriks pengkodean 2 X 2 untuk setiap matriks matriks pesan untuk mengubah string asli angka menjadi string lain, jadi sepenuhnya menyembunyikan pesan aslinya Pesan-pesan tersebut kemudian dikirim sebagai nomor string yang tidak dapat diterjemahkan tanpa menerapkan matriks decoding, kebalikan dari matriks pengkodean. Bagi banyak anak, aktivitas ini paling menyenangkan, paling buruk berbeda. Tujuan keseluruhan latihan itu, tentu saja, bukan untuk mengajarkan cara mengirim pesan berkode, tapi membujuk anak-anak untuk menguasai peraturan sewenang-wenang. Akhirnya, Aturan ini akan dibutuhkan dalam kurikulum matematika utama, tapi murid mungkin tidak terlalu termotivasi untuk belajar tentang perkalian matriks dalam konteks yang terjadi tidak mudah memungkinkan mereka untuk melihat di mana prosedur yang tidak biasa. Menanamkan pengetahuan yang sewenang-wenang dan terputus ini di benak para pelajar di sana, kemudian konsep anchoring menjadi aplikasi yang lebih penting perkalian matriks. Dalam arti, penggunaan matriks untuk mengirim dan memecahkan kode pesan adalah seorang penyelenggara muka.
Bagi Ausubel (1960), penyelenggara muka lebih umum, lebih abstrak, dan banyak lagi termasuk ide dan pengetahuan yang harus diikuti. Oleh karena itu diragukan apakah mengirim pesan berkode akan memenuhi kriteria Ausubelian yang ketat untuk sebuah penyelenggara muka. Penggunaan penyelenggara muka yang kurang ketat mungkin dilakukan cukup teknik mengajar yang umum, tapi cari advance panitia yang memuaskan Kriteria yang lebih umum, lebih abstrak dan lebih inklusif tidak begitu mudah. Scandura dan Wells (1967, hal 295) menerjemahkan gagasan tentang penyelenggara muka ke dalam:
'. . . ikhtisar umum umum atau non-teknis atau garis besar yang tidak penting dari materi yang harus dipelajari diabaikan '. Gagasan tentang penyelenggara muka tentu juga berguna untuk ditolak karena alasan teknis, jadi mungkin ada ide yang bisa kita pakai ke dalam pikiran peserta didik yang akan bertindak sebagai jembatan untuk selanjutnya, lebih rinci pengetahuan harus diterima Novak (1977, hal 220) mengklaim bahwa, '. . . penelitian studi yang berfokus pada penggunaan berbagai bentuk penyelenggara muka. . . tidak menguntungkan '. Sifat hierarkis matematika juga akan menunjukkan hal itu Seharusnya tidak banyak kesempatan bila pengetahuan baru tidak bisa dikaitkan dengan yang ada Pengetahuan, tapi gagasan tentang penyelenggara muka masih berharga.
Peta konsep diperkenalkan di Bab 2. Pembenaran psikologis untuk Menggunakannya dapat dilihat dalam kaitannya dengan pembelajaran yang berarti dan hubungan yang baru pengetahuan ke struktur pengetahuan yang ada. Teori Ausubelian harus dianggap sebagai sumber asli untuk gagasan peta konsep, meskipun telah Novak (1977 dan 1980), Novak dan Gowin (1984) dan banyak lainnya, yang telah menganjurkan penggunaan mereka di Indonesia tahun terakhir. Novak dan Gowin (halaman 15) menyatakan bahwa sebuah peta konsep adalah '. . . sebuah skematik perangkat untuk mewakili seperangkat makna konsep yang disematkan dalam kerangka proposisi [yang] bekerja untuk menjelaskan kepada siswa dan guru. . . ide kunci mereka harus fokus pada tugas pembelajaran yang spesifik '; ketika urutan belajar adalah selesai mereka '. . . berikan ringkasan skematik dari apa yang telah dipelajari '.
Superordinate dan bawahan belajar
Pengorganisasian pengetahuan dalam pikiran menuntut tinjauan dan penataan ulang yang konstan. Ini melibatkan kesadaran bahwa struktur konseptual tertentu dapat dibedakan menjadi konsep yang mungkin, dalam satu hal. Ini melibatkan kesadaran bahwa gagasan tertentu adalah bagian dari struktur konsep yang lebih inklusif atau lebih. Skemp (1971) membahas gagasan konsep utama yang berasal dari pengalaman sensorik dan motorik kita tentang dunia luar, dan konsep sekunder yang diabstraksikan dari konsep lainnya. Dia mengungkapkan pandangan bahwa konsep tertentu memiliki tatanan yang lebih tinggi daripada yang lain, yang menyiratkan bahwa mereka diabstraksikan dari orang lain. Ausubel (1968) menulis tentang diferensiasi progresif dalam pembelajaran, di mana unsur konsep yang paling inklusif diperkenalkan pertama dan kemudian Konsep dibedah atau semakin terdiferensiasi dalam hal detail dan spesifisitas. Dia juga menulis tentang superordinate learning, ketika konsep yang sebelumnya dipelajari dipandang sebagai elemen struktur konsep yang lebih besar dan lebih inklusif. Jenis reorganisasi pengetahuan yang terlibat dalam pembelajaran matematika dipastikan akan melibatkan proses twoway untuk menghubungkan konsep, baik dengan konsep bawahan maupun konsep yang lebih tinggi, seperti contoh berikut.Pengalaman belajar awal dalam matematika sangat berkaitan dengan perkembangan kompetensi dan pemahaman dalam jumlah dan 'empat peraturan', dan cukup banyak Waktu dihabiskan untuk penambahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Selama bertahun-tahun, Operasi yang sama diterapkan pada pecahan dan desimal dan hasil akhirnya
Aplikasi ke semua bilangan real harus dikuasai. Beberapa siswa melanjutkan untuk mendaftar empat operasi yang sama ke bilangan kompleks, dan persepsi yang lebih luas, misalnya, perkalian tercapai dalam beberapa kurikulum, perangkat belajar anak, dan operasi disini diperkenalkan juga, dengan persatuan dan persimpangan menjadi yang paling mungkin, meski tidak satu-satunya . Banyak murid belajar tentang vektor, dan operasi penambahan, pengurangan, dan produk skalar (untuk beberapa murid), dan mungkin produk vektor, diperkenalkan Operasi yang diterapkan pada matriks, melalui penambahan, pengurangan dan perkalian Beberapa siswa belajar kalkulus preposisional dan penggunaannya operasi seperti konjungsi dan disjungsi. Pada beberapa orang tahap dalam urutan belajar di atas, konsep 'operasi biner' mungkin terjadi diperkenalkan. Satu-satunya cara yang masuk akal untuk mendekati ide operasi biner dengan Murid adalah memiliki banyak contoh operasi semacam itu untuk menentukan lebih banyak konsep inklusif (bandingkan gagasan tentang beberapa perwujudan dari Diena). Dalam arti ini, Gagasan tentang 'operasi biner' dapat dianggap lebih sesuai dengan 'perkalian'. Dengan cara yang sama, konsep 'komutativitas' tidak masuk akal tanpa contoh operasi komutatif dan operasi non-komutatif (didefinisikan pada perangkat tertentu) untuk membangun gagasan yang lebih abstrak. Superordinate Belajar tampaknya sangat banyak menjadi bagian dari pembelajaran matematika.
Sebaliknya, konsep penting 'simetri' biasanya dipelajari agak berbeda. Atas dasar beberapa contoh seperti wajah manusia dan hewan, kupu-kupu, inkblots, refleksi cermin, dan sejenisnya, gagasan simetri sebagai semacam pengulangan keteraturan diperkenalkan. Setelah memperkenalkan apa adanya, pada intinya simetri bilateral dalam dua dimensi, kemungkinan keteraturan berulang lainnya pada objek yang sudah kita kenal dan dalam entitas matematika diselidiki. Dalam beberapa bentuk keteraturan terlihat menjadi rotasi, yang mengarah pada diferensiasi menjadi bilateral dan rotasional simetri. Simetri rotasional itu sendiri, bila dianalisis, mengarah pada gagasan keteraturan. Simetri bilateral dan rotasi melibatkan gagasan sumbu simetri. Lebih lanjut diferensiasi antara objek dua dimensi dan tiga dimensi diperkenalkan Gagasan lain, yaitu bidang simetri. Setelah mengembangkan ide simetri dengan Semakin membeda-bedakan gagasan keteraturan umum, kemudian pelajar dapat melakukan dan melihat simetri dalam matematika, bahkan di alam dan dunia dunia buatan manusia, dengan wawasan yang jauh lebih besar. Perbedaannya adalah bahwa dengan simetri, Gagasan keseluruhan keteraturan datang lebih dulu, tapi dengan operasi biner ia bertahan lebih lama.
Ausubel mengungkapkan pandangan bahwa pengembangan konsep berjalan paling baik bila paling banyak Umum, unsur-unsur yang paling inklusif dari sebuah konsep diperkenalkan terlebih dahulu dan kemudian konsepnya semakin terdiferensiasi. Contoh yang banyak dikutip adalah bagi kebanyakan Anak-anak muda , binatang berkaki empat adalah 'anjing', dan dibutuhkan diferensiasi progresif untuk memilah mana dari 'anjing' ini adalah kucing, sapi, kuda, domba, dan sebagainya. Hal yang sama juga Beraneka ragam tentang ikan, tentang bebek di taman bebek-tambak, dan tentang mobil. Namun, Baik ada pengecualian, atau belajar bekerja dua arah, dari yang atraktif bawahan dan sebaliknya. Anak-anak belajar apa itu apel, apa itu jeruk, apa adalah pisang dan baru kemudian mengenalnya secara kolektif sebagai buah. Dalam matematika, Mereka belajar tentang kotak dan empat persegi panjang (dan mungkin paralelogram, layang-layang dan bahkan rhombuses) sebelum bisa sepenuhnya memahami segiempat. Ada di Inti, masalah apakah semua bentuk empat sisi dilihat oleh anak sebagai kotak, ide kemudian menjadi semakin terdiferensiasi, atau entah kotak, persegi panjang dan Bentuk empat sisi tertentu lainnya terlihat berbeda dan quadrilaterals saat itu dianggap sebagai ide yang superordinate. Sebenarnya, belajar matematika harus melibatkan diferensiasi progresif dan superordinate learning bekerja sama; Menyatukan dua gagasan secara terpisah hanyalah semata sebuah kenyamanan untuk memungkinkan analisis maknanya. Berbagai nomor set berbeda dan hubungan di antara mereka telah digunakan beberapakali sebagai ilustrasi dalam buku ini Bisa dianggap sah bahwa belajar tentang angka melibatkan diferensiasi progresif, namun, bisa dikatakan bahwa beragam Berbagai jenis angka diperkenalkan selama periode waktu sampai akhirnya Konsep superordinat bilangan real diperkenalkan. Meski belajar tentang segi empat nampaknya ilustrasi dari pembelajaran supervisi, mungkin saja bisa Dikaji sebaliknya, dan studi tentang segitiga pasti muncul tempat dengan diferensiasi progresif. Pada tingkat yang lebih tinggi, faktorisasi kuadratik Ekspresi biasanya ditangani secara sistematis, dengan secara bertahap memperkenalkan lebih banyak dan koleksi koefisien yang lebih rumit, dan ini tampaknya progresif diferensiasi. Pembaca mungkin akan memiliki pandangan mereka sendiri tentang ilustrasi yang progresif diferensiasi dan supervisi belajar. Novak (1977) mengakui bahwa Penentuan apa yang dalam suatu badan pengetahuan adalah yang paling umum, paling inklusif konsep dan konsep bawahan apa yang tidak mudah, jadi kesepakatan yang lengkap Perbedaan progresif dan superordinate learning tidak mungkin terjadi. Itu penting, Namun, untuk mempertimbangkan hubungan antara konsep untuk: 'Salah satu alasan pengajaran sekolah telah begitu tidak efektif adalah bahwa perencana kurikulum jarang memilah konsepnya mereka berharap untuk mengajar dan bahkan lebih jarang lagi mereka mencoba mencari kemungkinan hirarkis hubungan antara konsep-konsep ini '(Novak, 1977, hal 86). Jelas, peta konsep Bisa berperan dalam perencanaan kurikulum yang berusaha menganalisa hubungan antara konsep.
Konflik dan kegagalan dalam belajar Ada kalanya terjadi dalam belajar, dan juga saat belajar tidak terjadi atau dengan cepat dilupakan. Semua masalah ini memerlukan pertimbangan, dan Ausubel telah memberi kami model teoretis. Konflik makna, disebut disonansi kognitif oleh Ausubel, mungkin terjadi karena berbagai alasan. Mungkin timbul saat kita Penggunaan kata 'vertikal' dalam gambar grafik menunjukkan makna yang bertentangan dengan ide yang sebelumnya dipahami. Mungkin timbul ketika seorang guru menyiratkan bahwa segitiga adalah poligon dan buku teks mengklaim tidak. Mungkin timbul saat seseorang teks matematika memberikan definisi bilangan natural yang meliputi nol dan buku lain tidak termasuk nol. Mungkin timbul saat definisi matematika gradien ini terlihat berbeda dari arti konsep di dunia nyata. Ada banyak cara di mana disonansi kognitif dapat terjadi. Intinya, ini adalah Masalah akomodasi, meski agak berbeda dengan kebanyakan akomodasi masalah. Gagasan yang saling bertentangan menciptakan ketidakseimbangan dan entah bagaimana mereka harus didamaikan, dan ini dicapai dengan proses rekonsiliasi integratif. Tanpa integratif rekonsiliasi bahwa peserta didik mungkin mengelompokkan konflik Ide demikian, misalnya, menerima kekuatan dan percepatan itu sebanding dalam pelajaran matematika tapi bertindak seolah-olah mereka berpikir sebaliknya di luar sekolah. Di Kasus gradien perlu dikelompokkan, dengan bahaya petugas dari melegitimasi memegang dua definisi yang berbeda untuk entitas yang sama. ini Tidak mudah meresepkan rekonsiliasi integratif, tapi disonansi kognitif adalah fitur umum pembelajaran sekolah. Sangat sulit untuk mencapai rekonsiliasi ketika penyebab konflik melintasi batas subjek, seperti dalam kasus keberadaannya satu definisi untuk histogram dalam matematika dengan yang mungkin agak berbeda dalam biologi
Alasan mengapa belajar tidak berlangsung termasuk non kognitif, seperti tidak memperhatikan pada saat kritis, dan kognitif, seperti tidak siap memiliki subsumers yang memadai. Masalah melupakan sama kompleksnya. Di tempat pertama tampaknya ada tingkat lupa, karena mungkin saja lupa tapi kemudian mengingat semuanya saat isyarat tepat disajikan, dan tampaknya juga demikian mungkin untuk melupakan irretrievably. Novak (1977) mengklaim bahwa sebagian besar informasi yang kita pelajari tidak dapat ditarik kembali pada suatu waktu di masa depan, sehingga menunjukkan bahwa lupa adalah norma dan bahwa itu adalah mengingat yang membutuhkan penjelasan. Teori Ausubel menjelaskan variasi tingkat lupa dalam hal tingkat keberagamaan materi yang dipelajari. Dalam kasus materi yang dipelajari dengan hafalan, harapannya akan terjadi bahwa itu akan dilupakan, mungkin lebih cepat daripada nanti, karena pengetahuan seperti itu harus disimpan di bagian basis pengetahuan yang tidak terhubung dengan jurusan struktur pengetahuan terpadu Pembelajaran kosakata bahasa asing hampir pasti sebagian oleh hafalan, tapi kata-kata diingat lebih baik di bawah kondisi tertentu seperti penggunaan reguler dalam kalimat (yang memperkenalkan tingkat keberanian). Ausubel menggambarkan 'overlearning', yang berarti pengulangan, revisi, dan Mungkin beberapa ekstensi, dan dengan cara ini, materi yang bisa dipopulerkan mungkin akan dipertahankan
jauh lebih lama daripada tanpa belajar. Saat pengetahuan telah diperoleh Dengan harapan, harapannya adalah retensi akan lebih lama lagi. Melupakan bisa, bagaimanapun, masih terjadi karena subsluminasi obliteratif.
Saat ide baru diperkenalkan dan terhubung ke subsumers yang relevan akomodasi dapat menyebabkan perubahan seperti ide baru dan subsumers dipahami. Inilah cara kita belajar - dengan mengasimilasi dan mengakomodasi waktu yang sama. Pengetahuan baru selanjutnya kemudian bisa menghasilkan perubahan, baik di pengetahuan baru sebelumnya dan di subsumers. Proses ini berlanjut terus kehidupan sehingga, dengan modifikasi dan amandemen yang berurutan, badan pengetahuan atau Struktur konseptual bisa jadi dimodifikasi sehingga tidak bisa dibawa kembali pikiran dalam bentuk aslinya - gagasan sebelumnya telah dilenyapkan melalui subsumption. Ini adalah teori yang sangat rapi yang sulit untuk dikonfirmasi atau ditolak, bagaimanapun juga, Verifikasinya membutuhkan contoh pengetahuan yang sudah dilupakan! Ini tentunya kita sudah belajar teknik dan metode solusi yang mana sangat berharga saat diperkenalkan namun sudah terlupakan, karena selanjutnya Teknik yang ada, dalam memasukkannya, secara efektif melenyapkan yang sebelumnya. Sebagian besar murid yang belajar tentang faktorisasi kuadratik dilengkapi dengan tip, aturan, atau proses untuk melakukannya membantu dengan tahap awal yang sulit Akhirnya, teknik dasar jatuh ke dalam tidak digunakan dan mudah dilupakan sama sekali dan keahlian yang lebih besar menciptakan sebuah keadaan di mana faktorisasi tidak lagi ditemukan sulit. Sebagai contoh, satu teknik faktorisasi diterapkan, Kami membutuhkan dua nomor A dan B dengan produk sebesar 10 X 12 dan jumlah sama dengan 23, yaitu,
AxB = 120 dan A + B = 23
Dua angka, yang ditemukan oleh campuran surat dan wawasan, adalah 15 dan 8, jadi:
Akhirnya, bagaimanapun, menjadi mungkin bagi banyak siswa untuk memotong pendek prosedur ini dan faktorkan sangat cepat dengan inspeksi, jadi metode di atas tidak digunakan dan akhirnya bisa dilupakan. Ilustrasi ini mungkin tidak ideal sebagai contoh Konsumsi yang obliteratif tapi itu menunjukkan bagaimana pengetahuan yang sementara berharga mungkin kemudian memudar terlupakan tanpa pelajar menjadi kehilangan. Fenomena penghilangan obliteratif nampaknya menunjukkan bahwa secara bermakna- Materi yang dipelajari seringkali tidak bisa diingat dalam bentuk yang tepat di mana awalnya tersimpan, sedangkan materi yang hafalan hanya bisa diingat persis seperti bentuk asli, karena tidak bisa dikenai substitusi obliteratif. Jika itu benar, Ini menunjukkan satu keuntungan dari materi yang dipopulerkan, tapi semua kelebihan lainnya muncul Berfungsi bermakna. Pengetahuan yang didapat secara bermakna cara dipertahankan lebih lama daripada jika diperoleh dengan hafalan dan ini berkontribusi terhadap pertumbuhan dan pengembangan lebih banyak subsumers dan oleh karena itu memudahkan lebih bermakna belajar. Namun, pengalaman mengajar menunjukkan bahwa materi hafalan tidak dipelajarinya selalu diingat, oleh anak-anak, dalam bentuk yang dipelajari, tapi ini kemudian bisa terjadi dijelaskan dengan melupakan (Novak, 1977).
Teori pembelajaran yang diusulkan oleh Ausubel (1968) harus dipandang sangat komprehensif, dan ruang telah memungkinkan pertimbangan hanya pilihan isu. Untuk sebagian besar, pendidik matematika belum banyak memperhatikan Ausubelian Teori, sehingga hubungan belajar matematika belum cukup luas diterapkan dan diperdebatkan, dan beberapa penulis telah menyediakan berbagai macam matematika contoh sehubungan dengan teori. Tapi pandangan kontemporer tentang belajar sering menarik dari karya Ausubel, begitu juga dari Piaget dan Bruner, begitulah adanya membantu untuk mengetahui sesuatu dari pandangan ketiganya jika seseorang dapat menempatkannya saat ini dilihat dalam konteks Pengajar sains telah lebih memperhatikan Ausubel, tapi Sering interpretasi mereka telah disaring sampai ke tingkat kelas saja syarat saran praktis seperti pujian penggunaan peta konsep (kadang diberi nama lain). Kelengkapan teori yang sangat berarti Pembelajaran yang diusulkan oleh Ausubel menunjukkan bahwa ini adalah model yang berguna Teori pembelajaran masa depan bisa dibandingkan untuk membantu menilai nilainya. Ada, Tentu saja, telah dikritik teori Ausubelian, misalnya beberapa pendidik matematika akan bereaksi kuat terhadap saran bahwa pembelajaran verbal atau ekspositori sama seperti efektif dan seefisien yang diklaim Ausubel. Ini sulit untuk menentukan pula, Karena kunci teori adalah bahwa seseorang harus terlebih dahulu memastikan apa yang telah dipelajari oleh peserta didik dan kemudian menerapkan tidak hanya tepat, tapi berkualitas baik, pengajaran ekspositori. Resiko menjadi berulang, tidak hanya sulit dipastikan secara detail apa pelajar sudah tahu, juga sulit untuk menentukan apa yang kita maksud dengan konsisten baik pengajaran ekspositori, dan karena itu untuk menerapkannya. Hal ini tentu saja yang terkuat pendukung teori Ausubelian selalu menuduh para kritikus tidak mempelajari teori tersebut dalam detail yang cukup.
Catatan singkat tentang pemrosesan informasi Tampaknya ada penelitian yang mencoba menyelidiki dan memahami bagaimana informasi yang diproses dalam pikiran dapat mengklaim sebagai bagian dari pendekatan studi tersebut belajar dikenal sebagai pengolahan informasi. Berbagai macam penelitian yang telah dilakukan, bagaimanapun, membuat tidak mungkin untuk mendefinisikan hanya sebuah teori pengolahan informasi Cobb (1987) telah mengklaim bahwa pengolahan informasi Psikologi berkembang sebagai alternatif perilaku, dengan mencoba belajar Apa yang terjadi antara stimulus dan respon, tapi makalahnya sendiri terutama terkait dengan mempertimbangkan pemrosesan informasi dari perspektif konstruktivis (lihat Bab 11). Sedangkan untuk hubungan dengan Piaget, Sternberg (1989, hal 454) menyatakan:
Teori Piagetian itu kompatibel dengan teori pemrosesan informasi ditunjukkan oleh fakta bahwa Rumelhart dan Norman. . . telah mengusulkan dua mode akuisisi pengetahuan dalam bahasa pemrosesan informasi yang sesuai hampir persis dengan asimilasi dan akomodasi [disebut 'pertambahan' dan'restrukturisasi'].
Karya Newell dan Simon (1972) sering dikutip sebagai mani dalam pemrosesan informasi
pendekatan teori belajar, dan beberapa hal ini sudah dipertimbangkan di Bab 5. Penelitian penting lainnya didokumentasikan dalam Stewart dan Atkin (1982) dan Stewart (1985). Krutetskii (1976) memasukkan diskusi tentang karakteristiknya pengolahan informasi selama pemecahan masalah. Lindsay dan Norman (1977) mempertimbangkan bagaimana pengetahuan dikomunikasikan ke ingatan jangka panjang. Baru-baru ini, banyak studi telah dilakukan ke dalam metode yang digunakan siswa dalam memecahkan dasar masalah menggunakan operasi dasar penambahan, pengurangan, perkalian dan divisi, dan dalam kesalahan yang dibuat. Pekerjaan lain terfokus pada SD aljabar. Sebuah ekuivalensi fisiologis dengan studi psikologis informasi pengolahan dijelaskan dalam Esler (1982).
Fitur penting dari banyak penelitian pengolahan informasi adalah perbandingannya dari pertunjukan para ahli dan pemula. Salah satu kelemahan utama seperti itu Penelitian terletak pada bagaimana mendefinisikan 'pakar' dan 'pemula', dan banyak definisi yang berbeda telah digunakan oleh peneliti yang berbeda. Kelemahan lain terjadi dari kisaran dari spektrum ahli-pemula terpilih Semakin peneliti berangkat dari Yang ekstrem dari skala pakar-pemula, semakin sulit membedakan keduanya proses mental. Semakin dekat ke ujung spektrum ahli-pemula dua kelompok adalah, semakin sedikit informasi yang didapat, agar tugas mudah tidak menghasilkan informasi apapun tentang para ahli, dan tugas yang sulit tidak memberikan pengetahuan yang berhubungan dengan pemula. Selanjutnya, karena paradigma pengolahan informasi berkaitan dengan kinerja Pada tingkat mikroskopik, telah disarankan bahwa tidak mungkin untuk menyediakannya informasi yang berharga di tingkat makroskopik mengajar instruksional program.
Bagian dari pembelajaran berbantuan komputer yang telah dikenal sebagai kecerdasan buatan
telah menjadi sangat terkait dengan pendekatan pengolahan informasi namun memiliki banyak kritik dan pendukung. Salah satu dampak komputer elektronik Pendidikan adalah teori teoritis kontemporer yang sering dipelajari manusia komputer sebagai model pikiran manusia. Ingatan terlihat sebagai kunci untuk belajar, untuk tujuan adalah penyimpanan di dalam, dan ingatan ingat dari, ingatan jangka panjang.
Dengan demikian komponen komputer input, control, processing, store dan output terlihat sebagai interpretasi sederhana memori jangka panjang Analogi dengan komputer miliki Telah diambil lebih jauh, dalam menyarankan bahwa pikiran manusia memiliki built-in siap-untuk-tindakan ROM (read only memory) dari saat lahir. Ada banyak kritik terhadap pemrosesan informasi, misalnya, ini dari Vergnaud (1990, hal 22): model pengolahan informasi . . Jangan memberikan teori apa konsepnya adalah, dan terutama karakter operasionalnya,. . . tidak menawarkan sesuatu yang masuk akal teori bagian yang dimainkan oleh bahasa dan simbol dalam berpikir. . . [dan tidak menawarkan pandangan yang masuk akal tentang pengembangan kompetensi siswa jangka panjang dan konsepsi.
0 Komentar