PEMIKIRAN PSIKOLOGI MATEMATIKA YANG MAJU

 

RESUME

BAB 1

PEMIKIRAN PSIKOLOGI  MATEMATIKA  YANG MAJU

DAVID TALL

Di bab pembuka  The Psychology of Invention in the Mathematical Field,  Matematikawan  Jacques Hadamard menyoroti kesulitan mendasar dalam membahas sifat psikologi pemikiran matematis yang maju:

... bahwa subjek tersebut melibatkan dua disiplin ilmu, psikologi dan matematika, dan akan memerlukan, agar diperlakukan secara memadai, bahwa keduanya adalah seorang psikolog dan matematikawan. Karena kurangnya peralatan komposit ini, subjek telah diselidiki oleh ahli matematika di satu sisi, oleh psikolog di sisi lain ... (Hadamard, 1945, halaman 1.)

Meski kita mau mempertimbangkan sifat pemikiran matematika maju dari sudut pandang psikologis, tujuan utama adalah untuk mencari wawasan berharga bagi matematikawan dalam pekerjaan profesionalnya sebagai peneliti dan guru.

Untuk mempertimbangkan konteks masalah dalam matematika penelitian yang mengarah pada perumusan kreatif dugaan dan sampai pada tahap akhir penyempurnaan dan pembuktian pada pemecahan masalah matematika dasar,  kemungkinan definisi formal dan deduksi merupakan salah satu faktor yang membedakan pemikiran matematika tingkat lanjut. Mengajar matematika sering menyajikan bentuk akhir dari teori deduktif daripada memungkinkan siswa untuk berpartisipasi dalam siklus kreatif penuh. Di kata-kata Skemp (1971), pendekatan saat ini untuk pengajaran sarjana cenderung memberi siswa produk pemikiran matematis daripada proses matematika berpikir.

Tidak hanya mungkin metode terkini untuk menyajikan pengetahuan matematika mutakhir gagal memberikan kekuatan penuh pemikiran matematis, itu juga memiliki yang lain, sama-sama serius, Kekurangan: presentasi logis mungkin tidak sesuai untuk perkembangan kognitif dari pembelajaran. Untungnya, kita juga mampu melaporkan bukti empiris bahwa urutan pembelajaran dan instruksi yang tepat dirancang untuk membantu siswa secara aktif membangun konsep bisa terbukti sangat sukses.

1. PERTIMBANGAN KOGNITIF

Hubungan dibangun dalam penelitian dan implikasi matematis untuk bagaimana ini mungkin terjadi diimplementasikan dalam pengajaran dan pembelajaran.

1.1     BERBAGAI JENIS PIKIRAN MATEMATIKA

Menulis di dekade pertama abad ini, matematikawan ternama Henri Poincaré menegaskan:

Tidak mungkin mempelajari karya matematikawan hebat, atau bahkan teori yang lebih rendah,tanpa memperhatikan dan membedakan dua kecenderungan berlawanan, atau lebih tepatnya dua jenis yang sama sekali berbeda  pemikiran. Dia mendukung argumennya dengan membandingkan karya berbagai matematikawan, termasuk analis Jerman yang terkenal, Weierstrass dan Riemann,.

Tentu saja, hanya ada dua jenis pikiran matematika yang berbeda, tapi banyak. Kronecker setuju dengan Weierstrass bahwa bukti logis sangat penting dan harus diperhatikan argumen visual intuitif, tapi keyakinan fundamental mereka tentang sifat matematika Konsepnya sangat berbeda.

Weierstrass menyatakan bahwa "bilangan irasional sama nyatanya eksistensi sebagai hal lain dalam dunia konsep ", namun Kronecker tidak dapat menerima jumlah sebenarnya dari bilangan real, yang menyatakan bahwa "Tuhan memberi kita bilangan bulat, selebihnya adalah karya manusia".

Argumen seperti itu tentang dasar-dasar matematika menyebabkan berkembangnya beberapa Alur filsafat matematika yang berbeda pada awal abad ke-20. Itu Pandangan intuisi yang ditunjukkan oleh Kronecker menegaskan bahwa konsep matematika hanya ada ketika konstruksi mereka ditunjukkan dari bilangan bulat, pandangan formalis Hilbert menegaskan bahwa matematika adalah manipulasi bermakna dari tanda-tanda yang tidak berarti yang ditulis di atas kertas, sementara pandangan logika Russell, dinyatakan bahwa matematika terdiri dari deduksi menggunakan hukum logika.

Mempraktekkan matematikawan cenderung menjauhkan diri dari argumen esoterik dan cukup melanjutkan pekerjaan mereka untuk menyatakan dan membuktikan teorema. Demikianlah abad ke-20 telah melihat runtuhnya pandangan Kronecker dan kemenangan campuran pragmatik formalisme dan logika. Ini telah melihat penciptaan sejumlah besar sistem formal berdasarkan deduksi logis dari definisi formal dan aksioma - sebuah pendekatan yang bertahan Rupanya pukulan fana dilanda oleh teorema ketidaklengkapan Gödel, bahwa setiap aksiomatik Sistem yang termasuk bilangan bulat harus mengandung pernyataan benar yang tidak bisa dibuktikan dengan yang terbatasurutan langkah dalam sistem.

Buku teks karya Bishop (1967) tentang analisis konstruktif - yang menekankan algoritme bukti konstruksi dan tidak mengizinkan bukti kontradiksi saja - nampaknya tapi terisolasi singularitas dalam aliran dinamis kreativitas matematis abad ke-20.

Meski begitu, pengenalan teknologi komputer baru-baru ini belum melihat yang baru “renaissance in constructibility” karena komputer memanipulasi data: Komputer telah mempengaruhi matematika seperti perkembangan kereta api yang tak terelakkan pola pengembangan lahan. Dengan komputer dimungkinkan untuk menguji hipotesis dan mengkompilasi data dengan kemudahan yang dulunya bisa diakses, jika sama sekali, hanya melalui teknik yang paling canggih. Karena ini dan  karena algoritma memiliki aplikasi kehidupan nyata yang cukup penting, perkembangannya Algoritma telah menjadi topik yang terhormat dengan sendirinya. (Edwards, 1987)

Alasan untuk meningkatkan perbedaan dalam persepsi matematikawan adalah untuk meningkatkan kesadaran pembaca akan bagian mereka sendiri dalam permadani yang kaya akan kehidupan,dengan pandangan pribadi  matematika yang akan berbeda dalam banyak hal dari konsepsi orang lain. Baginya bilangan real merupakan elemen yang lengkap memerintahkan lapangan (aksioma spesifik yang memuaskan) dan bilangan kompleks adalah pasangan terencana yang nyata Angka. Bahan pendekatan dari jumlah orang (x, y) sudah didefinisikan sebagai jumlah yang sama dengan itu

dimana sin  dan cos didefinisikan oleh rangkaian kekuatan merah. Teorinya tidak memerlukan makna geometris Dia mengambil garis keras ini untuk memastikan bahwa argumennya adalah produk deduksi logis dan tidak tergantung manapun pada intuisi geometris.

1.2     PERTIMBANGAN META-TEORITIK

Pembahasan tentang sesi sebelumnya adalah sebuah peringatan yang mengingatkan bahwa setiap teori tentang Psikologi belajar matematika harus memperhitungkan tidak hanya pertumbuhan konsepsi siswa, tapi konsepsi matematikawan dewasa. Matematika adalah budaya bersama dan ada aspek yang bergantung pada konteks.

Dengan demikian setiap teori psikologi pemikiran matematis harus dilihat secara lebih luas konteks aktivitas mental dan budaya manusia. Tidak ada yang benar dan mutlak berpikir tentang matematika, tapi beragam cara berpikir yang berkembang secara budaya di mana berbagai aspek relatif terhadap konteksnya.

1.3     KONSEP GAMBAR DAN KONSEP DEFINISI

Di Tall & Vinner (1981). Perbedaan dibuat antara cara berpikir individu sebuah konsep dan itu definisi formal, sehingga membedakan antara matematika aktivitas dan matematika sebagai sistem formal. Otak manusia bukanlah entitas yang murni logis. Cara kompleks yang sering digunakannya berbeda dengan logika matematika. Tidak selalu logika murni yang memberi kita wawasan, juga bukan kesempatan yang membuat kita membuat kesalahan. Dengan cara ini rangsangan yang berbeda bisa mengaktifkan berbagai bagian konsep Citra, kembangkan dengan cara yang tidak perlu membuat keseluruhan koheren. (Tall & Vinner 1981).

Bagi pandangan yang bertentangan untuk dipegang di dalam pikiran individu tertentu dan untuk ditimbulkan pada waktu yang berbeda tanpa individu sadar akan konflik sampai mereka membangkitkan sekaligus. Matematikawan dewasa tidak kebal dari konflik internal, tapi dia telah menjadi seorang matematikawan mampu menghubungkan sebagian besar pengetahuan ke dalam urutan argumentasi deduktif. Seorang siswa tanpa pengalaman guru mungkin menemukan pendekatan formal yang awalnya sulit, sebuah fenomena yang mungkin dipandang oleh guru sebagai kurangnya pengalaman atau intelek dari pihak mahasiswa. Ini adalah sudut pandang yang menghibur untuk diperhatikan, terutama bila guru adalah bagian dari komunitas matematika yang memiliki pemahaman matematika. Untuk Menjadi matematikawan dewasa pada tingkat lanjutan, mereka akhirnya harus mendapatkan wawasan cara matematikawan maju tapi, dalam perjalanan, mereka mungkin menemukan jalan berbatu yang akan ada membutuhkan transisi mendasar dalam proses berpikir mereka.

1.4     PEMBANGUNAN KOGNITIF

Ada banyak teori persaingan dalam psikologi. Teori Behaviourist, dibangun di luar pengamatan stimulus dan respon, menolak berspekulasi tentang internal kerja pikiran. Ini memberikan bukti observasi dan berulang tentang perilaku hewan,termasuk manusia, di bawah rangsangan berulang, namun memiliki aplikasi terbatas untuk matematika Berpikir di luar mekanisme algoritma rutin. Psikologi konstruksional, membahas bagaimana gagasan mental diciptakan di dalam pikiran setiap individu. Hal ini dapat menimbulkan masalah dialektika matematikawan dengan ideal Plato Matematika yang ada terlepas dari pikiran manusia, namun terbukti memberikan signifikansi wawasan ke dalam proses kreatif matematikawan penelitian serta kesulitan yang dialami oleh siswa matematika.

Ahli psikologi besar Swiss, Piaget, melihat kebutuhan individu untuk menjadi dinamis ekuilibrium dengan lingkungannya sebagai tema mendasar dalam karyanya. Piaget melihat anak itu tumbuh menjadi dewasa melalui serangkaian tahap ekuilibrium, masing-masing satu lebih kaya dari yang sebelumnya. Dia mengidentifikasi empat tahap utama. Yang pertama adalah sensori-motor tahap sebelum pengembangan pidato yang berarti, dilanjutkan dengan tahap pra-operasional.Saat anak muda menyadari keabadian benda-benda, yang terus ada sekalipun mereka sementara tidak terlihat. Anak kemudian mengalami transisi ke periode tersebut operasi konkret di mana dia dapat dengan mudah mempertimbangkan konsep yang terkait dengannya benda fisik, yang kemudian memasuki periode operasi formal di awal remaja saat jenis hipotetis "jika-maka" menjadi mungkin. Misalnya, Ellerton (1985) mengemukakan bahwa siklus Piaget Sensori-motor, pra-operasional dan beton adalah tingkat pertama pengembangan kognitif spiral di mana tahap formal adalah awal dari siklus lain dari tipe yang sama pada tingkat yang lebih tinggi tingkat abstraksi. Biggs & Collis (1982) menyarankan pengulangan operasi formal di tingkat yang

lebih tinggi berturut-turut, masing-masing mengulangi siklus pembelajaran: tidak terstruktur, multistructural, relasional.

Kesulitan menerapkan teori semacam itu ke pengajaran matematika di perguruan tinggi adalah mungkin kebanyakan mahasiswa tidak mampu tampil di tingkat abstrak formal operasi, yang dilaporkan Piaget terjadi pada anak-anak selama remaja awal mereka. Ausubel mengkritik teori panggung:

 ... karena persentase tinggi dari siswa sekolah menengah dan perguruan tinggi Amerika gagal mencapai ini tingkat abstrak operasi logis kognitif.( Ausubel 1968, hal. 230 )

Perbedaan konkret / formal telah terbukti menjadi titik awal yang berguna dalam pengembangan masyarakat lokal hirarki kesulitan dalam penelitian ekstensif seperti Hart (1981) dalam rentang usia 11 sampai 16, dan pengembangan konsep kalkulus awal oleh Orton (1980). Tapi kegagalan berarti Teori panggung Piaget untuk desain strategi pengajaran baru adalah penegasannya sendiri itu Pergerakan dari satu tahap ke tahap lainnya tidak dapat dipercepat dengan pengaruhnya pengajaran. Perbedaan permintaan kognitif sering digunakan dalam arti negatif menggambarkan kesulitan siswa, namun jarang memberikan kriteria positif untuk merancang yang baru. pendekatan untuk subjek Papert (1980) menegaskan:

Teori panggung Piaget pada dasarnya bersifat konservatif, hampir reaksioner, dalam menekankan apa anak tidak bisa melakukannya Saya berusaha untuk menemukan Piaget yang lebih revolusioner, orang yang melihat gagasan-gagasan pistemologis mungkin memperluas batasan yang diketahui dari pikiran manusia. Matematika tingkat lanjut memberi kita metafora yang berguna yang memperluas penglihatan teori panggung teori yang lebih berharga dalam pengembangan matematika tingkat lanjut berpikir. Piaget menggunakan analogi dengan teori kelompok untuk mendukung perasaan dinamikanya ekuilibrium pertumbuhan kognitif. Dia melihat elemen identitas mewakili stabil negara, dan mencatat bahwa stabilitas dapat dipertahankan jika ada transformasi dari negara ini dibalik, sehingga menunjukkan struktur kelompok di mana setiap elemen memiliki kebalikan.

Analogi ini menunjukkan bahwa teori panggung mungkin hanya merupakan trivialization linier dari sistem yang jauh lebih kompleks dari perubahan, setidaknya ini mungkin begitu bila memungkinkan rute melalui jaringan gagasan menjadi lebih banyak, seperti yang terjadi dalam pemikiran matematika tingkat lanjut.

1.5     TRANSISI DAN REKONSTRUKSI MENTAL

Aspek yang jauh lebih berharga dari teori Piaget adalah proses transisi dari satu mental ke yang lain. Selama transisi seperti itu, perilaku yang tidak stabil mungkin dilakukan, dengan pengalaman dari ide-ide sebelumnya yang bertentangan dengan unsur-unsur baru. Piaget menggunakan istilah tersebut asimilasi untuk menggambarkan proses dimana individu mengambil data baru dan akomodasi proses dimana struktur kognitif individu harus diubah. Ia melihat asimilasi dan akomodasi sebagai pelengkap. Selama masa transisi banyak akomodasi yang dibutuhkan Skemp (1979) mengemukakan gagasan serupa dengan cara yang berbeda Membedakan antara kasus dimana proses belajar menyebabkan ekspansi sederhana struktur kognitif individu dan kasus di mana ada konflik kognitif, membutuhkan rekonstruksi mental proses rekonstruksi inilah yang memprovokasi kesulitan yang terjadi selama fase transisi. Transisi semacam itu sering terjadi pada matematika tingkat lanjut karena individu tersebut berjuang dengan struktur pengetahuan baru. Konflik adalah fenomena yang terkenal dengan pemikiran matematis.

1.6     OBSTACLES

Masalah yang paling serius terjadi ketika gagasan baru tidak diakomodasi secara memuaskan. Dalam kasus ini, ada kemungkinan gagasan yang saling bertentangan hadir dalam diri seseorang sekaligus waktu yang sama:

Pengetahuan baru yang sering bertentangan dengan pembelajaran lama dan efektif memerlukan strategi untuk mengatasi hal tersebut konflik. Terkadang potongan pengetahuan yang saling bertentangan bisa didamaikan, terkadang satu atau beberapa Yang lain harus ditinggalkan, dan terkadang keduanya bisa "dipelihara" jika dijaga dengan aman di kompartemen terpisah. (Papert, 1980, hal 121)

Tesis Comu (1983) mempelajari perkembangan konseptual dari proses limit dari sekolah ke universitas dan menggarisbawahi bagaimana penggunaan bahasa sehari-hari dari istilah "batas" efek penggunaan matematis Dia membahas gagasan tentang "rintangan", yang diperkenalkan oleh Gaston Bachelard (1938):

Hambatan adalah masing-masing pengetahuan; itu adalah bagian dari pengetahuan siswa. Pengetahuan ini Pada suatu waktu umumnya memuaskan dalam memecahkan masalah tertentu. Justru aspek memuaskan ini yang telah menancapkan konsep di dalam pikiran dan menjadikannya sebagai penghalang. Pengetahuan kemudian terbukti menjadi tidak memadai saat menghadapi masalah baru dan ketidakcukupan ini mungkin tidak jelas.

(Comu 1983, (asli dalam bahasa Prancis))

Hambatan yang ditemukan oleh Comu mencakup masalah yang dihadapi siswa saat harus menghitung batas menggunakan teknik yang lebih halus daripada operasi numerik dan aljabar sederhana. Diamembahas bagaimana konsep infinity diperkenalkan dan "dikelilingi misteri", namun teknik baru "bekerja" tanpa siswa mengerti mengapa. Dia menunjukkan bagaimana caranya pengalaman siswa dapat menyebabkan kepercayaan pada jumlah yang tak terhingga besar dan tak terbatas, dengan "Tidak ada sembilan yang berulang" menjadi angka "kurang dari satu" dan simbol e mewakili banyak siswa suatu kuantitas yang lebih kecil dari bilangan real positif manapun, tapi tidak nol Ada asumsi implisit bahwa proses pembatas "berlangsung selamanya", itu batas "tidak akan pernah tercapai". (Lihat bab 10.)

Tall (1986a) mengemukakan sebuah penjelasan diberikan untuk fenomena ini sebagai generikprinsip penyuluhan:

Jika seseorang bekerja dalam konteks terbatas di mana semua contoh dianggap memiliki keyakinan tertentu Dengan demikian, jika tidak ada contoh kontra, pikiran mengasumsikan sifat yang diketahui tersirat dalam konteks lain. Sebagai contoh, kebanyakan rangkaian konvergen yang dideskripsikan untuk memulai siswa adalah hal yang sederhana jenisnya diberikan dengan rumus seperti l / n, yang cenderung membatasi (dalam hal ini nol), namun istilahnya tidak pernah sama batasnya Dengan tidak adanya contoh tanggapan, siswa mulai mempercayainya ini selalu begitu. Pengalaman bahasa sehari-hari yang kaya mendukung kepercayaan ini (Schwarzenberger & Tall, 1978), dengan ungkapan seperti "mendekati" yang menunjukkan bahwa persyaratannya dari urutan tidak pernah bisa bertepatan dengan batas. Dengan demikian keyakinan implisitnya perlahan terbentuk bahwa urutan istilah yang konvergen sampai batas semakin dekat, tapi tidak pernahbenar-benar sampai di sana.

Selanjutnya, jika semua syarat berurutan memiliki properti tertentu, wajar dipercayabahwa batas memiliki properti yang sama. Jadi urutan 0,9, 0,99, ... memiliki istilah yang kurang dari 1, jadi batas "nail point nine recurring" juga harus kurang dari satu ... ini mengarah ke Citra mental dari objek yang membatasi disebut batas generik di Tall (1986a). Kebutuhan batas generik Tidak menjadi batas dalam arti matematis, tapi itu adalah konsep batasan bahwa individu memegang dalam pikirannya sebagai hasil ekstrapolasi sifat umum dari persyaratan urutannya.

Fenomena ini terjadi tidak hanya dengan urutan angka, tapi urutannya fungsi dan benda matematika lainnya topi berbagi milik bersama. Secara historis ini Diabadikan dalam "prinsip kontinuitas" Leibniz: Dalam transisi yang seharusnya, yang berakhir dengan terminologi apapun, diperbolehkan untuk menerapkan penalaran umum, di mana ujung akhir mungkin juga disertakan. (Leibniz dalam sepucuk surat ke Bayle, 1687 Januari).

Ini muncul lebih awal dalam karya Nicholas dari Cusa (1401-1464) yang menganggap lingkaran tersebut sebagai poligon dengan jumlah sisi yang tak terbatas, dan mengilhami Kepler (1571-1630) untuk merumuskannya sebuah "jembatan kontinuitas" metafisik di mana bentuk normal dan bentuk dari sebuah gambar adalah ditandai dengan definisi tunggal. Dengan demikian Kepler (Opera Omnia II halaman 595) melihat tidak ada perbedaan penting antara poligon dan lingkaran, antara elips dan lingkaran, di antaranya yang terbatas dan tak terbatas, dan antara daerah yang sangat kecil dan garis.

Prinsip penyuluhan generik muncul berkali-kali dalam sejarah. Misalnya, Cauchy's pernyataan bahwa batas fungsi kontinu terus menerus dan Prinsip Merak dari Algebraic Permanence ", dimana sifat sistem bilangan diperpanjang, seperti bilangan real dan kompleks, didasarkan pada prinsip bahwa hukum aljabar mana pun .Ditahan di sistem yang lebih kecil juga diadakan di perpanjangan. Yang terakhir ini bergoyang untuk beberapa waktu di abad kesembilan belas sampai Hamilton menemukan (menemukan?) Quaternions, perpanjangan bilangan kompleks yang perkaliannya gagal menjadi komutatif.

di abad kesembilan belas sampai Hamilton menemukan (menemukan?) quua, perpanjangan bilangan kompleks yang perkaliannya gagal menjadi komutatif.

Kendala yang timbul dari keyakinan mendalam tentang matematika jarang mudah dihapus dari pikiran. Kita semua membawa bersama kita kantong jasmani dari keyakinan semacam itu, yang banyak kita tekan, tapi jangan hilangkan, saat berhadapan dengan logika matematika. Seringkali satu-satunya jejak rintangan seperti itu adalah melalui rasa tidak enak saat ada deduksi logis yang tidak "terasa benar". Kami melihat ini sebagai contoh konflik kognitif antara bagian tidak konsisten dari citra konsep individu.

1.7     GENERALISASI DAN ABSTRAKSI

Istilah "generalisasi" dan "abstraksi" digunakan dalam matematika untuk menunjukkan proses di mana konsep dilihat dalam konteks yang lebih luas dan juga produk dari proses tersebut.

Secara kognitif, ini bukan hanya proses deduksi deduksi atau deduksi, di mana bahan bangunan pembelajar dari abstrak objek. Di Harel & Tall mengusulkan agar perbedaan kognitif dilakukan antara berbagai jenis generalisasi sesuai dengan aktivitas kognitif yang terlibat. Kami menyebut generalisasi ekspansif yang memperluas struktur kognitif siswa yang ada tanpa memerlukan perubahan dalam gagasan saat ini. Di sisi lain, generalisasi yang membutuhkan rekonstruksi struktur kognitif yang ada, kita sebut generalisasi rekonstruktif.

Generalisasi disjungtif adalah generalisasi dalam arti bahwa siswa sekarang dapat beroperasi pada contoh yang lebih luas, namun kemungkinan nilainya kecil bagi siswa karena hanya menambah jumlah potongan informasi yang terputus dalam pikiran siswa tanpa meningkatkan pemahaman siswa terhadap implikasi abstrak yang lebih luas. Generalisasi ekspansif adalah teknik pengajaran yang baik untuk diterapkan jika perlu untuk dapat menangani kelas aplikasi yang lebih luas tanpa harus melalui perubahan kognitif yang terlalu banyak.

Pendekatan generik dipandang sebagai metode generalisasi yang mudah karena menerapkan proses yang terkenal dalam konteks yang lebih luas dan juga sebagai langkah awal menuju abstraksi formal karena tidak melibatkan rekonstruksi kognitif yang besar. Memang, begitu para siswa merenungkan proses umum dan melihatnya sebagai tindakan sadar untuk memperluas penerapan suatu metode tertentu, dapat dipandang sebagai bentuk abstraksi (yang relatif tidak menyakitkan) yang kita sebut abstraksi generik (Harel & Tall , muncul). Ini memberikan sebuah pendekatan yang bernilai khusus bagi siswa yang minat utamanya adalah dalam aplikasi daripada matematika formal. Ini juga dapat memberikan fase transisi yang sesuai bagi siswa yang melanjutkan ke abstraksi formal, namun yang terakhir masih memerlukan pengorganisasian kognitif, walaupun metode ini lebih siap.

Dubinsky mendorong siswa untuk menulis program dalam bahasa komputer di mana banyak konstruksi paralel dengan konstruksi pemikiran matematis: rangkaian, urutan, pasangan berpesan, hubungan, fungsi, dan sebagainya. Dengan menulis kode komputer yang menentukan prosedur untuk melakukan suatu proses fungsi, termasuk tes awal untuk melihat apakah input memenuhi kondisi yang menentukan domain fungsi, siswa diharuskan untuk memikirkan melalui pemberlakuan proses fungsi. Tindakan pemrograman adalah proses generik: itu melakukan apa yang dapat dilihat sebagai konstruksi yang lebih umum dalam kasus tertentu dan menimbulkan abstraksi generik dari konsep fungsi. Dengan teori yang baru saja dijelaskan, ini menunjukkan bahwa tahap selanjutnya diperlukan untuk lulus dari contoh umum pemrograman, di mana jenderal terlihat pada contoh fungsi tertentu yang diprogram oleh siswa, hingga abstraksi formal yang memerlukan tingkat konstruksi abstrak baru. Dari definisi Dubinsky merumuskan transisi ini dalam kerangka abstraksi reflektif Piaget, di mana proses dienkapsulasi sebagai objek, sehingga fungsi proses beralih ke fungsi sebagai objek mental.

1.8     INTUISI DAN RIGOR

Matematikawan sering menganggap istilah "intuisi" dan "ketegasan" sebagai saling eksklusif dengan menyarankan bahwa penjelasan "intuitif" adalah sesuatu yang pastinya tidak memiliki ketelitian. Tapi oposisi antara kedua konsep tersebut adalah dikotomi yang salah seperti yang akan segera kita lihat.

Pertama, tentu saja, seperti yang diprediksi, semua ini adalah fungsi non-linguistik non-matematika, terutama karena melibatkan pemahaman dan pemrosesan pola, hubungan dan transformasi spasial. Mereka tampak holistik dan kesatuan daripada analitik dan fragmen, dan orientasional lebih dari sekadar fokus, dan untuk melibatkan wawasan perseptual yang konkret daripada penalaran berurutan abstrak dan simbolis. (Sperry, 1974)

Bukti ini sangat sesuai dengan pengamatan dua jenis pemikiran matematika yang berbeda yang ditunjukkan pada pergantian abad oleh Poincaré. Namun, penelitian selanjutnya menunjukkan bahwa otak individu yang berbeda tidak perlu mengikuti pembagian fungsi yang sederhana. Gazzigna (1985) melihat aktivitas otak sebagai kumpulan modul berbeda yang berfungsi secara independen secara paralel, dengan unit kontrol (biasanya di otak kiri) membuat keputusan berdasarkan informasi yang diberikan oleh berbagai modul.

Kesimpulannya tak terhindarkan. Intuisi adalah produk dari konsep gambar individu. Semakin terdidik individu dalam berpikir logis, semakin besar kemungkinannya citra konsep individu akan beresonansi dengan respons logis. Hal ini terbukti dalam Pertumbuhan pemikiran siswa, yang lulus dari intuisi awal berdasarkan pra-formal mereka matematika, intuisi formal yang lebih halus seiring pengalaman mereka tumbuh (Poincaré, 1913, hal 215)

          Dari sudut pandang psikologis, Fischbein (1978) sampai pada kesimpulan yang sama, dengan mengutip dua berbagai jenis intuisi:

Intuisi primer mengacu pada keyakinan kognitif yang mengembangkan dirinya pada manusia, di cara alami, sebelum dan terlepas dari instruksi sistematis.  Intuisi sekunder adalah teori yang dikembangkan sebagai hasil pelatihan intelektual sistematis. Dalam arti yang sama, Felix Klein (1898) menggunakan istilah "intuisi halus": dan F. Severi menulis tentang "intuisi tingkat kedua" (1951). (Fischbein 1978, hal 161)

Dengan demikian aspek logika juga bisa diasah menjadi lebih "intuitif" terhadap matematika pikiran. Perkembangan intuisi logis yang halus ini harus menjadi salah satu tujuan utama lebih maju pendidikan matematika.

 

 

 

2. PERTUMBUHAN PENGETAHUAN MATEMATIKA

Seperti yang telah kita lihat, sifat pemikiran matematis saling terkait erat proses kognitif yang memunculkan pengetahuan matematika.

2.1     TULISAN LENGKAP PEMIKIRAN MATEMATIKA ADVANCED

Bukti matematis, menurut Hadamard (1945), hanyalah fase "precending" terakhir pemikiran matematis. Sebelum sebuah teorema bisa diprediksi, apalagi dibuktikan, ada banyak pekerjaan yang harus dilakukan dalam memahami gagasan apa yang akan bermanfaat dan hubungan apa akan berguna Hadamard menganggap deskripsi Poincare tentang penelitian pribadinya sendiri kegiatan dan catatan: 

...pengamatan sangat Poincaré menunjukkan kepada kita tiga macam karya inventif yang pada dasarnya berbeda jika dianggap dari sudut pandang kita, yaitu,

a.   Sebuah. sepenuhnya sadar bekerja

b.      iluminasi didahului oleh inkubasi

c.       proses yang sangat aneh dari malam tanpa tidur. (Hadamard, 1945, hal 35)

Disini Poincaré menganalisis apa yang telah terjadi dan membangun justifikasi formal teorinya dalam fase "precided" akhir ketika hasil terobosan iluminasi tunduk pada analisis dingin cahaya hari, menyempurnakan asumsi sehingga deduksi akan menjadi pengawasan analitik.

Yang menjadi jelas adalah fase awal siklus kreatif mungkin bergantung pada sebagian pada logika dan deduksi, tapi mereka juga butuh aktivitas mental yang fleksibel untuk menghasilkan mental resonansi antara konsep yang sebelumnya tidak terhubung. Menurut model Gazzigna Aktivitas otak, bisa terjadi sebagai penjajaran dari berbagai modul di otak pengolahan secara simultan. Bagian dari kesuksesan fase pemikiran matematis ini tampaknya karena bekerja cukup keras pada masalah untuk merangsang aktivitas mental, dan kemudian santai untuk memungkinkan pemrosesan dilakukan tanpa sadar.

2.2     TEORI BANGUNAN DAN PENGUJIAN: SINTESIS DAN ANALISIS

Poincaré berusaha keras untuk menunjukkan peran pelengkap sintesis dan analisis pemikiran matematis sintesis dimulai dengan tindakan sadar dari fase awal untuk memulai untuk menggabungkan ide, diikuti dengan aktivitas yang lebih intuitif, di mana interaksi bawah sadar antara gambar konsep berlangsung, sampai sebuah resonansi kuat memaksa yang baru dihubungkan konsep untuk meletus sekali lagi ke dalam kesadaran. Analisis, di sisi lain, adalah jauh lebih banyak. Aktivitas sadar yang sejuk dan logis yang mengatur gagasan baru ke dalam bentuk logis dan memurnikan mereka untuk memberikan pernyataan dan deduksi yang tepat.

Pengajaran anak yang lebih muda menekankan sintesis pengetahuan, mulai dari konsep sederhana, membangun dari pengalaman dan contoh hingga konsep yang lebih umum. Itu penekanan pada level ini sekarang berubah untuk memasukkan lebih banyak pemecahan masalah dan open-endedinvestigasi Pengajaran di universitas sering menekankan sisi lain dari koin: analisis pengetahuan, dimulai dengan abstraksi umum dan rantai pengurang deduksi dari mereka yang mungkin diterapkan dalam berbagai konteks spesifik.

Bekerja dengan anak-anak yang jauh lebih muda, Dienes (1960) mengajukan sebuah teori untuk bangunan konsep dari contoh konkret, namun Dien & Jeeves (1965) merumuskan lebih jauh prinsip dasar umum di mana "ada preferensi untuk ekstrapolasi dengan lompatan dan interpolasi, bukan selalu dengan langkah demi langkah ". Mereka menanggapi pertanyaan mereka sendiri". Mereka menyarankan bahwa ini lebih merupakan pertanyaan tentang "tingkat kerumitan kompleksitas yang dibutuhkan mulailah dengan "sebuah respon yang sama validnya untuk pengajaran dan pembelajaran lebih maju”. Hal ini cenderung memerlukan sintesis pengetahuan untuk membangun teori secara kognitif juga sebagai analisis pengetahuan untuk memberi struktur total koherensi logis.

2.3     BUKTI MATEMATIKA

Dilihat sebagai aktivitas pemecahan masalah, kita melihat bukti itu sebenarnya tahap akhir aktivitas di mana ide dibuat tepat. Namun begitu banyak pengajaran di tingkat universitas matematika dimulai dengan bukti Dalam kata pengantar untuk The Psychology of Learning Mathematics, Skemp ringkas mengacu pada hal ini sebagai menunjukkan kepada siswa produk berpikir matematis, bukannya mengajari mereka proses berpikir matematis.

Jadi, begitu banyak matematikawan menuntut agar sebuah bukti tidak hanya menjadi logis, tapi juga bahwa harus ada prinsip over-riding yang menjelaskan mengapa bukti tersebut berhasil. Itu bukti dari empat teorema warna, oleh kehabisan semua kemungkinan konfigurasi menggunakan pencarian komputer (Appel & Haken, 1976) tampak logis, namun banyak matematikawan profesional,Meski ingin melihat teorema itu terbukti sekali dan untuk selamanya, tetap saja skeptis bahwa mungkin ada beberapa cacat halus di komputer "bukti", karena sepertinya tidak ada saja atau alasan untuk menerangi mengapa ia bekerja sebagaimana adanya